2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система уравнений Эйлера-Лагранжа
Сообщение13.04.2014, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Задача:
В вариационном исчислении и фундаментальных принципах классической механики важную роль играет следующая система уравнений Эйлера-Лагранжа:
$$
\begin{cases}
\left(\frac{\partial L}{\partial x} + \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial v}\right)(t,x,v) = 0&\\
v = \dot{x}(t)&\\
\end{cases}
$$
где $L(t,x,v)$ — заданная функция переменных $t,x,v$, среди которых $t$ обычно является временем, $x$ — координатой, а $v$ — скоростью.
Данную систему составляют два соотношения на три переменные. Из системы обычно желают найти зависимости $x=x(t)$ и $v=v(t)$, что по существу сводится к отысканию зависимости $x=x(t)$, ибо $v=\frac{dx}{dt}$.
Запишите подробно первое уравнение системы, раскрыв производную $\frac{d}{dt}$ с учетом того, что $x=x(t)$ и $v=v(t)$.
Решение:
$$\frac{\partial L}{\partial x} + \frac{\partial^2 L}{\partial v \partial t} + \frac{\partial^2 L}{\partial v \partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2 L}{\partial v \partial v} \frac{dv}{dt} = 0$$

Правильно ли я расписал производную? Мне показалось подозрительным то, что в кинематическом уравнении появился член, зависящий от ускорения ($ \frac{dv}{dt} $). Может быть опечатка в условии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений Эйлера-Лагранжа
Сообщение13.04.2014, 21:01 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
kp9r4d
Опечатка в самом уравнении Лагранжа, должно быть $\[\frac{{\partial L}}{{\partial q}} - \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot q}} = 0\]$ (а у вас стоит +). С учётом этих изменений в развёрнутом виде три последние три слагаемых будут со знаком -. В остальном верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений Эйлера-Лагранжа
Сообщение13.04.2014, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений Эйлера-Лагранжа
Сообщение13.04.2014, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Для материальной точки в поле потенциальных сил $L=\frac{mv^2}{2}-U(x)$. Попробуйте, подставив это в полученные Вами формулы, получить второй закон Ньютона — и Вы поверите в $\frac{dv}{dt}$. Учтите замечание Ms-dos4 и то, что потенциальная сила $F=-\frac{\partial U}{\partial x}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений Эйлера-Лагранжа
Сообщение14.04.2014, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
svv
Да, вроде получил, ещё вопрос, в следующем задании просят:
Задача:
Покажите, что если от переменных $t,x,v,L$ перейти к так называемым \emph{канонически переменным} $t,x,p,H$, сделав преобразование Лежандра
$$
\begin{cases}
p = \frac{\partial L}{\partial v}&\\
H = pv - L&\\
\end{cases}
$$
по переменным $v,L$, заменяя их на переменные $p,H$, то система Эйлера-Лагранжа приобретает симметричный вид
$$\dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial x}, \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p}$$

Я, раскрывая последние тождества, получаю:

$$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{\partial^2 L}{\partial v \partial t} - \frac{\partial^2 L}{\partial v \partial x} v - \frac{dv}{dx} \frac{\partial L}{\partial v} = 0$$
$$\frac{dx}{dt}= v + \frac{\partial L}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial p} - \frac{\partial L}{\partial p}$$

что почти то что мне нужно, но на каких основаниях я могу полагать, что:
$$ \frac{\partial L}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial p} - \frac{\partial L}{\partial p} = 0$$
$$ \frac{dv}{dx} \frac{\partial L}{\partial v} = \frac{\partial^2 L}{\partial v \partial v} \frac{dv}{dt}$$
мне не понятно. Помогите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений Эйлера-Лагранжа
Сообщение14.04.2014, 09:49 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Расписываете дифференциал гамильтониана
$\[dH = \sum\limits_{k = 1}^n {(\frac{{\partial H}}{{\partial {q_k}}}d{q_k} + \frac{{\partial H}}{{\partial {p_k}}}d{p_k})}  + \frac{{\partial H}}{{\partial t}}dt = \sum\limits_{k = 1}^n {({{\dot q}_k}d{p_k} + {p_k}d{{\dot q}_k} - \frac{{\partial L}}{{\partial {q_k}}}d{q_k} - \frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot q}_k}}}d{{\dot q}_k})}  + \frac{{\partial H}}{{\partial t}}dt\]$

Подставляете в него определённые выше соотношения ($\[p = \frac{{\partial L}}{{\partial \dot q}}\]$, следующее из него с помощью уравнений Лагранжа $\[\dot p = \frac{{\partial L}}{{\partial q}}\]$ и каноническое преобразование $\[H = \sum\limits_{k = 1}^n {{{\dot q}_i}{p_i}}  - L\]$)

$\[dH = \sum\limits_{k = 1}^n {({{\dot q}_k}d{p_k} + {p_k}d{{\dot q}_k} - {{\dot p}_k}d{q_k} - {p_k}d{{\dot q}_k})}  - \frac{{\partial L}}{{\partial t}}dt\]$

Отсюда (ср. с первым выражением для дифф. гамильтониана)

$\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial H}}{{\partial {q_k}}} =  - {{\dot p}_k}\\
\frac{{\partial H}}{{\partial {p_k}}} = {{\dot q}_k}
\end{array} \right.\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений Эйлера-Лагранжа
Сообщение14.04.2014, 12:23 


10/02/11
6786
что и написано в любом учебнике

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений Эйлера-Лагранжа
Сообщение15.04.2014, 10:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Да, спасибо, разобрался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group