Система уравнений Эйлера-Лагранжа

[kp9r4d]

Задача:
В вариационном исчислении и фундаментальных принципах классической механики важную роль играет следующая система уравнений Эйлера-Лагранжа:

$$ \begin{cases} \left(\frac{\partial L}{\partial x} + \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial v}\right)(t,x,v) = 0&\\ v = \dot{x}(t)&\\ \end{cases} $$

где $L(t,x,v)$ — заданная функция переменных $t,x,v$, среди которых $t$ обычно является временем, $x$ — координатой, а $v$ — скоростью.
Данную систему составляют два соотношения на три переменные. Из системы обычно желают найти зависимости $x=x(t)$ и $v=v(t)$, что по существу сводится к отысканию зависимости $x=x(t)$, ибо $v=\frac{dx}{dt}$.
Запишите подробно первое уравнение системы, раскрыв производную $\frac{d}{dt}$ с учетом того, что $x=x(t)$ и $v=v(t)$.
Решение:

$$\frac{\partial L}{\partial x} + \frac{\partial^2 L}{\partial v \partial t} + \frac{\partial^2 L}{\partial v \partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2 L}{\partial v \partial v} \frac{dv}{dt} = 0$$

Правильно ли я расписал производную? Мне показалось подозрительным то, что в кинематическом уравнении появился член, зависящий от ускорения ($ \frac{dv}{dt} $). Может быть опечатка в условии?

[Ms-dos4]

kp9r4d
Опечатка в самом уравнении Лагранжа, должно быть $\[\frac{{\partial L}}{{\partial q}} - \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot q}} = 0\]$ (а у вас стоит +). С учётом этих изменений в развёрнутом виде три последние три слагаемых будут со знаком -. В остальном верно.

[kp9r4d]

Спасибо.

[svv]

Для материальной точки в поле потенциальных сил $L=\frac{mv^2}{2}-U(x)$. Попробуйте, подставив это в полученные Вами формулы, получить второй закон Ньютона — и Вы поверите в $\frac{dv}{dt}$. Учтите замечание Ms-dos4 и то, что потенциальная сила $F=-\frac{\partial U}{\partial x}$.

[kp9r4d]

svv
Да, вроде получил, ещё вопрос, в следующем задании просят:
Задача:
Покажите, что если от переменных $t,x,v,L$ перейти к так называемым \emph{канонически переменным} $t,x,p,H$, сделав преобразование Лежандра

$$ \begin{cases} p = \frac{\partial L}{\partial v}&\\ H = pv - L&\\ \end{cases} $$

по переменным $v,L$, заменяя их на переменные $p,H$, то система Эйлера-Лагранжа приобретает симметричный вид

$$\dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial x}, \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p}$$

Я, раскрывая последние тождества, получаю:

$$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{\partial^2 L}{\partial v \partial t} - \frac{\partial^2 L}{\partial v \partial x} v - \frac{dv}{dx} \frac{\partial L}{\partial v} = 0$$

$$\frac{dx}{dt}= v + \frac{\partial L}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial p} - \frac{\partial L}{\partial p}$$

что почти то что мне нужно, но на каких основаниях я могу полагать, что:

$$ \frac{\partial L}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial p} - \frac{\partial L}{\partial p} = 0$$

$$ \frac{dv}{dx} \frac{\partial L}{\partial v} = \frac{\partial^2 L}{\partial v \partial v} \frac{dv}{dt}$$

мне не понятно. Помогите, пожалуйста.

[Ms-dos4]

Расписываете дифференциал гамильтониана
$\[dH = \sum\limits_{k = 1}^n {(\frac{{\partial H}}{{\partial {q_k}}}d{q_k} + \frac{{\partial H}}{{\partial {p_k}}}d{p_k})} + \frac{{\partial H}}{{\partial t}}dt = \sum\limits_{k = 1}^n {({{\dot q}_k}d{p_k} + {p_k}d{{\dot q}_k} - \frac{{\partial L}}{{\partial {q_k}}}d{q_k} - \frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot q}_k}}}d{{\dot q}_k})} + \frac{{\partial H}}{{\partial t}}dt\]$

Подставляете в него определённые выше соотношения ($\[p = \frac{{\partial L}}{{\partial \dot q}}\]$, следующее из него с помощью уравнений Лагранжа $\[\dot p = \frac{{\partial L}}{{\partial q}}\]$ и каноническое преобразование $\[H = \sum\limits_{k = 1}^n {{{\dot q}_i}{p_i}} - L\]$)

$\[dH = \sum\limits_{k = 1}^n {({{\dot q}_k}d{p_k} + {p_k}d{{\dot q}_k} - {{\dot p}_k}d{q_k} - {p_k}d{{\dot q}_k})} - \frac{{\partial L}}{{\partial t}}dt\]$

Отсюда (ср. с первым выражением для дифф. гамильтониана)

$\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial H}}{{\partial {q_k}}} = - {{\dot p}_k}\\ \frac{{\partial H}}{{\partial {p_k}}} = {{\dot q}_k} \end{array} \right.\]$

[Oleg Zubelevich]

что и написано в любом учебнике

[kp9r4d]

Да, спасибо, разобрался.