Разрывы монотонной функции

[Alex Sominsky]

Доказать, что число разрывов монотонной функции не более чем счетно.

Не знаю даже как подступиться...

[provincialka]

Попробуйте сопоставить разрывы с какими-нибудь рациональными числами. Их ведь счетное количество.

[gris]

Особенно, если сбоку посмотреть

[Alex Sominsky]

provincialka в сообщении #849229 писал(а):

Попробуйте сопоставить разрывы с какими-нибудь рациональными числами. Их ведь счетное количество.

А почему разрывы должны быть обязательно в рациональных точках?

[kp9r4d]

Alex Sominsky в сообщении #849236 писал(а):

А почему разрывы должны быть обязательно в рациональных точках?

Докажите, что разрывы обязательно первого рода. Разрывы первого рода связаны с некоторыми интервалами, которые при том, из-за монотонности не будут пересекаться. Любая система непересекающихся интервалов на прямой — не более чем счётна.

[gris]

Придумал (скорее всего, вспомнил Гелбаума) монотонную функцию, множество точек разрыва которой всюду плотно. Но это не усложняет решение

[provincialka]

Alex Sominsky в сообщении #849236 писал(а):

А почему разрывы должны быть обязательно в рациональных точках?

Не те рациональные точки.

gris в сообщении #849233 писал(а):

Особенно, если сбоку посмотреть

Смотрите не на аргументы, а на значения.

[Alex Sominsky]

kp9r4d в сообщении #849237 писал(а):

Любая система непересекающихся интервалов на прямой — не более чем счётна.

Это именно то утверждение, которое я не смог доказать.

[provincialka]

Возьмите в каждом по рациональной точке.

[Alex Sominsky]

Понял, спасибо. Как просто!

-- 13.04.2014, 19:05 --

Но снова появились сомнения. Ведь тоже самое можно сделать и для перекрывающихся интервалов...

[gris]

А все выбранные точки должны быть разными. Попробуйте-ка обеспечить это с перекрывающимися интервалами.

[Alex Sominsky]

Ага. Интервалов должно быть столько же, сколько точек. Еще раз спасибо.