Найти интеграл

[MestnyBomzh]

Найдите интеграл:

$$\int \frac{e^{2x}+3e^x}{\sqrt{e^{2x}+e^x+1}}dx$$

Я так понимаю, нужно как-то подогнать под интеграл: $\int \frac{dx}{x^2+a^2}$, но в числителе у меня все равно остается что-то, зависящее от $x$:

$$\int \frac{e^{2x}+3e^x}{\sqrt{e^{2x}+e^x+1}}dx=\int \frac{e^{2x}+3e^x}{(e^x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx=\binom{e^x+\frac{1}{2}=y}{dy=e^xdx}=\int \frac{y+\frac{5}{2}}{y^2+\frac{3}{4}}$$

Подскажите, что дальше делать, или, может, есть проще решение? Заранее спасибо!

[Lia]

А на сумму интеграл никак не разложить?

[iifat]

Хм. А куда сбежал квадратный корень? Уж не буду из вежливости спрашивать про $dy$.

[provincialka]

А нельзя сразу избавиться от экспоненты, а уж потом думать, что делать с иррациональностью?

[Otta]

А он не избавился?
Правда, как-то уж очень... радикально.

[provincialka]

Otta, избавился. Только зачем-то хотел сразу получить упрощение и интеграла с иррациональностью. Впрочем, может, ТС просто не привел промежуточные вычисления.
MestnyBomzh, а в чем проблема? Вы же уже почти решили.

[MestnyBomzh]

ой, я потерял, действительно, корень и $dy$:

$$\int \frac{e^{2x}+3e^x}{\sqrt{e^{2x}+e^x+1}}dx=\int \frac{e^{2x}+3e^x}{\sqrt{(e^x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}dx=\binom{e^x+\frac{1}{2}=y}{dy=e^xdx}=\int \frac{y+\frac{5}{2}}{\sqrt{y^2+\frac{3}{4}}}dy$$

provincialka
Мешает в последнем выражении числитель, который зависит от $y$, от него нужно как-то избавиться, чтобы можно было применить формулу $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln{\left | x+\sqrt{x^2+a^2} \right |}$

[Otta]

Вы умеете читать темы с начала?

[MestnyBomzh]

Почитываю, конечно
Разложить на сумму? От экспоненты я избавился

[provincialka]

Именно! На сумму! Причем вы прекрасно провели артподготовку. Теперь игреки в числителе отдельно, свободный член - отдельно.

[MestnyBomzh]

$$\int \frac{y+\frac{5}{2}}{\sqrt{y^2+\frac{3}{4}}}dy=\int \frac{y}{\sqrt{y^2+\frac{3}{4}}}dy + \int \frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{y^2+\frac{3}{4}}}dy$$

Со вторым интегралом понятно. Теперь про первый:

$$\int \frac{y}{\sqrt{y^2+\frac{3}{4}}}dy=\int \frac{1}{\sqrt{1+\frac{3}{4y^2}}}dy$$

Далее $t=\frac{1}{4y^2}$?

[Otta]

А Вы сперва сами попробуйте, а потом другим предлагайте. ))

[provincialka]

MestnyBomzh
Да проще все! Тут нужно задействовать Основной Инстинкт. Если в интеграле есть $ydy$, а все остальное выражается через $y^2$, то ...

[Алексей К.]

Дополнительно объясняю:

$$\int \frac{y}{\sqrt{y^2+\frac{3}{4}}}dy=\int \frac{\color{blue}{\overbrace{\color{black}y\,dy}^{\text{щастье}}}}{\sqrt{y^2+\frac{3}{4}}}=\ldots$$

[svv]

(Оффтоп)

Так вот оно какое, счастье-то...