Связные диаграммы и вклад в амплитуду рассеяния

[Name XXX]

Кучу раз встречал утверждение о том, что несвязные диаграммы от S-матрицы не вносят вклад в амплитуду рассеяния. Как это доказать, стартуя с выражения для S-матрицы,

$$ \hat {S} (t, t_{0}) = \hat {N} \int e^{-i\int \hat {H}_{I}d^{4}x}, $$

и ее связи с амплитудой процесса рассеяния,

$$ W_{\alpha \to \beta} \tilde {=} |\langle \beta | \hat {S} | \alpha \rangle|^{2}? $$

[fizeg]

Во-первых, это не совсем правильно
А во-вторых, в той мере в которой это правильно, рассказано, по-моему, в любом учебнике КТП.

Общая логика такая. Все опирается на то, что диаграмма Фейнмана из нескольких несвязанных кусков равна произведению этих самых кусков. Довольно очевидно, что тогда произвольная диаграмма может быть организована как
$\begin{pmatrix}\text{Связные компоненты}\\\text{с внешними линиями}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\text{Вакуумная диаграмма}\end{pmatrix}$
И общая сумма пересобирается в таком виде
$\begin{pmatrix}\text{Сумма диаграмм,}\\\text{все связные компоненты}\\\text{с внешними линиями}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\text{Сумма всевозможных}\\\text{вакуумных диаграмм}\end{pmatrix}$

Но в $\hat{N}$ вылезет тоже сумма всевозможных вакуумных диаграмм и второй множитель сократится. С более строгой точки зрения производится перенормировка вакуумной энергии таким образом, что она принимается равной нулю.

Остаются только диаграммы, все связные компоненты которых имеют внешние линии. Само собой они могут быть и несвязными и все равно давать вклад. Но это отражение того, что вы всегда можете выделить в S-матрице компоненты кластеризующиеся по S-матрице для меньшего числа частиц, соответствующие по сути нескольким независимым процессам. Так что зная S-матрицу для меньшего числа частиц (хе-хе), вы знаете и эти компоненты. "Интересная" же часть, в которой все частицы участвуют в одной куче-мале, как раз соответствуют связным диаграмам. Конечно, в реальности надо учитывать всё.

В большинстве учебников смотрят только на процессы $2\rightarrow 2$. В них все несвязные диаграммы соответствуют частицам, которые просто непровзаимодействовали друг с другом, по сути вклад в их собственную энергию. Поэтому они и не дадут вклад в нетривиальную часть S-матрицы $S-1$ и отсюда "вклад дают только связные диаграммы"

[Name XXX]

fizeg, мне кажется, что тут каким-то образом замешан переход от представления взаимодействия к представлению Гейзенберга, а приведенные Вами утверждения справедливы именно для представления Гейзенберга (типа, считаются пропагаторы как вакуумное среднее операторов именно в представлении Гейзенберга).
Я прав?

[Name XXX]

А, я разобрался. Есть два варианта интерпретации моего вопроса.

Первый касается того, что мы формально отбрасываем среди всех членов разложения S-матрицы слагаемые, соответствующие случаю, когда хоть одна частица in-состояния не провзаимодействовала, просто пролетев мимо. Тут, разумеется, соответствующие несвязные диаграммы вносят вклад во взаимодействие, но они неинтересны. Потому-то часто вводят логарифм от производящего функционала, так он генерирует лишь связные диаграммы. Несвязные же легко восстановить, взяв экспоненту от логарифма.

Второй же касается того, что есть спонтанные флуктуации вакуума. Им соответствует вакуумное среднее $<0|\hat {S}|0>$. От него можно избавиться соответствующей нормировкой.