Факторгруппа, изоморфизм

[Mary84]

Добрый день.

Помогите, пожалуйста, разобраться.

Задача: доказать, что факторгруппа $ \mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z} $ изоморфна группе всех корней из 1.

Факторгруппа $ \mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z} $ образована смежными классами группы $ \mathbb{Q}\ $ по $ \mathbb{Z} $.

Множество $ q \mathbb{Z}$, где $q\--$ некоторый элемент из $ \mathbb{Q}\-- $ называется левым смежным классом группы $\mathbb{Q}$ по подгруппе $\mathbb{Z}$ (ан-но определяется $\mathbb{Z}a$)

Группа корней из 1: $ u_k = \cos \frac{2 \pi k}{n} + i \sin \frac{2 \pi k}{n}, k = 0,1,...,n-1$
Построим смежные классы: $ (\forall q \in \mathbb{Q}) + \mathbb{Z}$. Группы аддитивные, поэтому надо прибавлять. Но так, по-моему, не вся группа покрывается. Нужно тогда умножение использовать. Или я неправильно определение понимаю?

Все корни из 1 лежат на единичной окружности и делят её на n частей.

[patzer2097]

Mary84 в сообщении #848400 писал(а):

Группа корней из 1: $u_k = \cos \frac{2 \pi k}{n} + i \sin \frac{2 \pi k}{n}, k = 0,1,...,n-1$

ну и задайте отображение

$$\cos \frac{2 \pi k}{n} + i \sin \frac{2 \pi k}{n}\longrightarrow\frac{k}{n}+\mathbb{Z}.$$

Знаете, чем оно будет?