Разность потенциалов в данном случае определяется как
![\[
U = E\Delta L
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/a/dba8834cf955dafb87489c10c877b31e82.png "\[
U = E\Delta L
\]")
(Е постоянно по длине).
Напряженность же электрического поля вдоль проводника определяется не по формуле
![\[
E = - \frac{{dB}}{{dt}}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/8/63854cb03d80ba75408076fe0ad9799c82.png "\[
E = - \frac{{dB}}{{dt}}
\]")
, а по формуле
![\[
\vec E = - \frac{{d\vec A}}{{dt}}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/e/2ee0f4cc6d32ef668e7f3a53004dea8882.png "\[
\vec E = - \frac{{d\vec A}}{{dt}}
\]")
, где А - векторный потенциал. Есле не верите моему выводу, то строгий вывод зависимости для определение «векторного потенциала» в точке, находящейся на расстоянии х от бесконечного проводника с током приведен в книге А.Анго "Математика для электро и радио инженеров" на стр. 152 -153 (кстати, рекомендую, совершенно замечательная книга - гибрид справочника по математике и справочника по электродинамике). Там приведено следующее выражение для А:
![\[
\vec A = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I( - \ln x^2 )
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/4/ea467909407e94da3d8530a68801e77782.png "\[
\vec A = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I( - \ln x^2 )
\]")
.
Далее
![\[
\vec A = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I( - \ln x^2 ) = - \frac{{2\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I\ln x
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/b/feb446c1c458f7eeafda65edcf9304c882.png "\[
\vec A = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I( - \ln x^2 ) = - \frac{{2\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I\ln x
\]")
.
Тогда, если
, то:
![\[
\vec E = \frac{{\mu _0 }}{{2\pi }}\ln x\frac{{d\vec I}}{{dt}}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/8/488e8cd22b76e133806ec7f41cb5804782.png "\[
\vec E = \frac{{\mu _0 }}{{2\pi }}\ln x\frac{{d\vec I}}{{dt}}
\]")
, и ЭДС (разности потенциалов на концах проводника), наведенная в отрезке
![\[
\Delta L
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/c/12c647cd727caad2d302d3c0cc2abbfd82.png "\[
\Delta L
\]")
будет равна:
![\[
[U] = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\ln x\frac{{dI}}{{dt}}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/c/2dcc87ee5e2fa325fcb6c1c52d1229d782.png "\[
[U] = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\ln x\frac{{dI}}{{dt}}
\]")
.
Опять же, выходит, что ЭДС тем больше, чем дальше отрезок от проводника с током. Для прямоугольного контура ABCD (AB и CD имеют длину
и параллельны бесконечному проводу) выражение будет следующим:
![\[
[U] = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\ln \frac{{x_2 }}{{x_1 }}\frac{{dI}}{{dt}}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/b/cab700a3e1022166ad7dbe0db1d6a1ef82.png "\[
[U] = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\ln \frac{{x_2 }}{{x_1 }}\frac{{dI}}{{dt}}
\]")
, т.к. ЭДС в перпендикулярных проводниках BC и DA не наводится, а ЭДС в AB и CD направлены в одну сторону и вычитаются.
Кроме того, очевидно, что под логарифмом должна стоять безразмерная величина, например, отношение, иначе выражение становится совершенно абсурдным (какая, например, размерность у lnx, если x имеет размерность в метрах?). Следовательно, в первое выражение обязана входить безразмерная величина
![\[
\ln \frac{x}{X}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/3/6b3cd9a777e8b0ec609c6127e71b6ec082.png "\[
\ln \frac{x}{X}
\]")
, (где Х - некое расстояние от бесконечного проводника, я считаю от его середины, т. е Х = 0) а не
![\[
\ln x.
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/0/6b0551705409892e2210caa842ee94cd82.png "\[
\ln x.
\]")
. По поводу интегрирования по х - это так получается при определении А, и особого физического смысла не имеет, хотя если вы преобразуете это выражение ( в частности для контура), то получите фарадееву ЭДС E = - dФ/dt так как
![\[
U = \int\limits_L {Edl = } - \int\limits_L {\frac{{d\int\limits_{x_1 }^{x_2 } {B_x dx} }}{{dt}}} dl = - \frac{{d\Phi }}{{dt}}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/6/326fe9d78ee9fdd5613f0f49302e000682.png "\[
U = \int\limits_L {Edl = } - \int\limits_L {\frac{{d\int\limits_{x_1 }^{x_2 } {B_x dx} }}{{dt}}} dl = - \frac{{d\Phi }}{{dt}}
\]")
где
![\[
\int\limits_L {\int\limits_{x_1 }^{x_2 } {B_x dx} dl} = \Phi
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/9/e5992ecc4890b87e036d7ac781b5861a82.png "\[
\int\limits_L {\int\limits_{x_1 }^{x_2 } {B_x dx} dl} = \Phi
\]")
. Здесь видно, откда "вылазит" знаменитая площадь S, которую "пересекает" поток вектора В - физического смысла никакого, чистый математический формализм.
Для определения U можно также использовать первую формулу уравнение Максвелла
![\[
rot\vec E = - \frac{{d\vec B}}{{dt}}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/1/f91e917b9757abe557e93cd55a33212b82.png "\[
rot\vec E = - \frac{{d\vec B}}{{dt}}
\]")
. Для элемента проводника, направленного вдоль оси Y она выглядит следующим образом:
![\[
\frac{{dE_y }}{{dx}} = \frac{{dB_x }}{{dt}}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/f/46fe39e8d5bd1d6abf34dd780992ae2582.png "\[
\frac{{dE_y }}{{dx}} = \frac{{dB_x }}{{dt}}
\]")
. (Кстати, дополнительно по поводу интегрирования по х: я тут совершенно не при чем, т.к. в формулы входит не grad а rot, т.е. провод-то направлен вдоль у, а вот производная берется по х...Все вопросы к Стоксу).
Так как переменные от x и t – независимые, то:
![\[
[E] = \frac{{\int {Bdx} }}{{dt}}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/0/7a088e7fdefd2c7b0915afe9fd278c9082.png "\[
[E] = \frac{{\int {Bdx} }}{{dt}}
\]")
, то есть формула имеет такой же вид, что и выведенная на основе «векторного потенциала» А (собственно,этого и следовало ожидать), и, соответственно, решения получаются такие же.
Совершенно очевидно, что все эти выражения могут работать только для замкнутого контура.
. А разность потенциалов в самом деле наводится? Это установлено экспериментально? Интересно как бы это можно проверить?![\[
\frac{{d\Phi }}{{dt}} = 0
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/b/04b9044349820b7ed8a70c23b60decc982.png "\[
\frac{{d\Phi }}{{dt}} = 0
\]")
). Теперь измерьте напряжение (осциллографом) в диаметрально противоположных точках кольца и вы увидите синусоидальный сигнал (при 1000 об мин примерно 7 мВ). Т.о. ЭДС наводится независимо в двух половинках кольца (контура) и направлена встречно. В результате суммарная ЭДС в контуре равна нулю, но это только из за компенсации, а не потому, что это принципиально невозможно согласно формуле Фарадея.
в правой части, то получается ерунда - поле 
возрастает с ростом расстояния 
. Это уравнение Бесселя 1-го порядка. Общее решение известно, но надо определить два коэффициента C1, C2. Для этого надо иметь систему из двух уравнений. Первое уравнение простое - это значение поля 
в точке 
в проводе в точке 
, что соответсвует картине распространения ЭМ волны в пространстве. Думаю, что мое приближение (взять граничные условия из квазистатики), при решении этой задачи оправдано, т.к. волновой характер процесса начинает проявляться только на очень большом удалении от провода.
![\[
I = I_0 e^{ - \alpha z}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/6/a165f8cafcabe7452803e0cbfc0e635582.png "\[
I = I_0 e^{ - \alpha z}
\]")
. В результате преобразований получается формула с комплексным коэффициентом преломлениия ![\[
n^' = n(1 - \nu i)
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/e/3ae5a7fd266b56a97ee877db37ddcaa982.png "\[
n^' = n(1 - \nu i)
\]")
, где ![\[
\nu = \frac{{\alpha \lambda }}{{4\pi }}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/6/f06d16225111d44bed965dfa289d2f4b82.png "\[
\nu = \frac{{\alpha \lambda }}{{4\pi }}
\]")
. (см Ландсберга, Дятлова (переделанный студентами Детлаф) и проч.).