Найти сумму ряда

[Lia]

gris в сообщении #847318 писал(а):

По-моему, не тянет на выкладывание решения?

Тянет, тянет.

gris
Замечание за выкладывание решения простой учебной задачи.

[gris]

Да, тоже часто применяется. Это тот же метод, но как бы в численном варианте (конечные разности?).

Так и знал. У меня Мне стыдно, товарищи

[PUMA]

Otta в сообщении #847310 писал(а):

Ну а сумму рядов как тогда считали? Как-то же считали. Так не бывает - никогда не делали и нате задание.

я уже все тетради по матану перелистала вдоль и поперек, всё в основном на сходимость(всякие критерии,признаки), а чтоб чисто вычислить нет теорию по матану нам не особо хорошо дали,поэтому я его и не понимаю . А задание это в ИГА одно единственное, и штук 10 на вычисление предела(функ.рядов).

[Otta]

PUMA
Ну в сети поищите, найдете, и много.

(Оффтоп)

Как странно жизнь устроена - чем легче доступ к все большему количеству информации, тем хуже в ней народ ориентируется.

[armez]

Кроме предела $\frac{ln(1+x)}{x}$, из теории больше ничего не требуется.

[nnosipov]

armez в сообщении #847333 писал(а):

После этого, пользуясь известным пределом $\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1$, можно получить представление $\frac{1}{n}=ln(n+1)-ln(n)+o(\frac{1}{n})$. Это позволяет преобразовать частичную сумму к виду, удобному для вычисления предела ...

И каким же образом преобразовать?

[armez]

nnosipov, боюсь, что явный ответ на этот вопрос является выкладыванием готового решения. Такое преобразование хорошо известно (например, его можно найти у Фихтенгольца).

[nnosipov]

armez в сообщении #847474 писал(а):

(например, его можно найти у Фихтенгольца).

Ну, могли бы и точную ссылку дать, за это здесь не арестовывают. А пока будем считать вот это Ваше утверждение

armez в сообщении #847352 писал(а):

Кроме предела $\frac{ln(1+x)}{x}$, из теории больше ничего не требуется.

бездоказательным.

[RIP]

Ну, к слову, соотношения $\dfrac1n=\ln(n+1)-\ln n+o\left(\dfrac1n\right)$ действительно маловато, однако более точного $\dfrac1n=\ln(n+1)-\ln n+O\left(\dfrac1{n^2}\right)$ уже хватает, хоть и придётся немного поработать.

[armez]

Конечно, "бездоказательным" - это указание, а не доказательство.
Точная ссылка - том 2, пример 382, 6) (но преобразование нужно применить
к конечной сумме чётного порядка $S_{2k}$).

RIP,
$[\ln (k+1)-\ln k]+...+[\ln (2k-1)-\ln (2k)]+k \cdot o(\frac{1}{k})=\ln \frac{k+1}{2k}+o(1)$
- что здесь некорректно?

[nnosipov]

RIP в сообщении #847497 писал(а):

.. хоть и придётся немного поработать

Чтобы в итоге получить что? Если асимптотику для частичной суммы гармонического ряда с оценкой $o(1)$, то эта задача, по-моему, сложнее исходной. Возможно, это дело вкуса, но сведение к интегральной сумме мне представляется довольно естественным.

[RIP]

Да, я действительно не туда подумал. Я тоже считаю, что через интегральную сумму естественнее всего. Рассуждение с $o(1/k)$ — это по сути то же самое, но другими словами.

[armez]

RIP в сообщении #847505 писал(а):

Рассуждение с $o(1/k)$ — это ...

...способ решения задачи при условии, что степенные ряды (или даже определённые интегралы) ещё не изучались, не использующий ничего из теории, кроме указанного предела.

[nnosipov]

RIP в сообщении #847505 писал(а):

Да, я действительно не туда подумал.

Так текст был таков, что трудно было подумать туда.

Вообще, эта задача есть в школьном учебнике Колмогорова ("Алгебра и начала анализа", 9-10 кл., М., 1982), где соответствующий предел просят найти с помощью интегралов.