элементы математической статистики

[Olympiya]

Помогите, пожалуйста, справиться с задачей:

Для случайной величины X получена выборка ее значений. Интервал на котором лежат наблюдаемые значения $ X_{i} $ , разделили на несколько подинтервалов одинаковой длины $ (a_{k}; a_{k+1} ] $ и подсчитали частоты $ n_{k} $ попадания наблюдаемых значения $ X_{i} $ в эти подинтервалы. Результаты представлены в таблице:

(a_k; a_{k+1}] 2.1;2.4  2.4;2.7  2.7;3.0  3.0;3.3  3.3;3.6    3.6;3.9  3.9;4.2  4.2;4.5
n_{k}             3        7       18       36       19          8           3        2

1)По выборочным данным найти выборочное среднее и исправленную дисперсию.
2)Сделать предположение о законе распределения случайной величины X.
3)Если есть основания предположить нормальный закон распределения случайной величины X, то провести выравнивание эмпирического закона.
4)найти доверительный интервал для математического ожидания X (надежность 0.95)


Если я правильно понимаю, для решения 1) нужно взять выборку, к примеру:

x_{k}  2,3  2,6  2,9  3,2  3,5  3,8  4,1  4,4
n_{k}  3    7    18   36   19   8    3    2

и рассчитать выборочное среднее по формуле:
$ \overline x = \frac{\sum_{i=1}^k n_{i} x_{i}}{n} $, а исправленную дисперсию:
$ s^{2} = \frac{n}{n-1}*(\overline {x^{2}}-\overline x^{2}) $
n=3+7+18+36+19+8+3+2.
Подскажите, пожалуйста, как решить остальные пункты.

[oliva]

Olympiya писал(а):

Помогите, пожалуйста, справиться с задачей:

Для случайной величины X получена выборка ее значений. Интервал на котором лежат наблюдаемые значения $ X_{i} $ , разделили на несколько подинтервалов одинаковой длины $ (a_{k}; a_{k+1} ] $ и подсчитали частоты $ n_{k} $ попадания наблюдаемых значения $ X_{i} $ в эти подинтервалы. Результаты представлены в таблице:

(a_k; a_{k+1}] 2.1;2.4  2.4;2.7  2.7;3.0  3.0;3.3  3.3;3.6    3.6;3.9  3.9;4.2  4.2;4.5
n_{k}             3        7       18       36       19          8           3        2

1)По выборочным данным найти выборочное среднее и исправленную дисперсию.
2)Сделать предположение о законе распределения случайной величины X.
3)Если есть основания предположить нормальный закон распределения случайной величины X, то провести выравнивание эмпирического закона.
4)найти доверительный интервал для математического ожидания X (надежность 0.95)


Если я правильно понимаю, для решения 1) нужно взять выборку, к примеру:

x_{k}  2,3  2,6  2,9  3,2  3,5  3,8  4,1  4,4
n_{k}  3    7    18   36   19   8    3    2

и рассчитать выборочное среднее по формуле:
$ \overline x = \frac{\sum_{i=1}^k n_{i} x_{i}}{n} $, а исправленную дисперсию:
$ s^{2} = \frac{n}{n-1}*(\overline {x^{2}}-\overline x^{2}) $
n=3+7+18+36+19+8+3+2.
Подскажите, пожалуйста, как решить остальные пункты.

C выборочной дисперсией по-моему что-то не то. Я бы посчитал приблизительно так:
$ s^{2} = \frac{1}{n-1}*{\sum_{i=1}^k (n_{i}(x_{i}-\overline x)^2)} $

На счет распределения нужно искать гипотезы для такого рода даных (гистограм). Я таких не встречал, но они наверняка есть (в книгах )

[antbez]

Самый лёгкий пункт здесь- №4. Только таблица нужна.

[Olympiya]

oliva писал(а):

C выборочной дисперсией по-моему что-то не то. Я бы посчитал приблизительно так:
$ s^{2} = \frac{1}{n-1}*{\sum_{i=1}^k (n_{i}(x_{i}-\overline x)^2)} $

Судя по ответу, это одно и тоже.

2)Нашла в книжке, если вероятность $ P(\vert X-a \vert < 3\sigma) \geq 0,997 $, то имеет место нормальное распределение случайной величины. Если считать $ a=\overline {x}, \sigma=s $, то $ P(\vert X-a \vert < 3\sigma)=F(3\sigma+a)- F(-3\sigma+a)=1-0=1$, где
$ F(x)=\left \{ \begin{array}{ll} 0 & \textrm{если x<2,1}\\ 1 & \textrm{если x>4,2}\end{array} \right. $ – функция распределения. Можно так?
3)"Провести выравнивание эмпирического закона" – это означает подсчитать вероятность попадания в подинтервалы в случае нормального распределения?

antbez писал(а):

Самый лёгкий пункт здесь- №4. Только таблица нужна.

Согласна. Про него писать не буду.