Проверить правильность решения (оценки интеграла)

[Ivan0001]

$B(C[0,1]), A_{n}x(t)=\int\limits_{0}^{1} k_{n}(t,s)x(s)ds, k_{n}(t,s)$ - равномерно по $n$ ограниченны, непрерывны на $[0,1]^{2}$ и поточечно сходятся к непрерывной на $[0,1]^{2}$ фунции $k(t,s)$
Хочу доказать слабую сходимость. Рассматриваю произвольный элемент $x \in C[0,1]$ и произвольный линейный функционал на $C[0,1]$, задаваемый слева функцией ограниченной вариации $\beta (t)$
$| \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} (k_{n}(t,s)-k(t,s))x(s)dsd \beta (t)| \leqslant \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} |k_{n}(t,s)-k(t,s)|x(s)dsd \beta (t)$. Так было написано у меня, но $\beta (t)$ может принимать и отрицательные значения потому неравенство не верно.

Определение
Равномерная ограниченность — свойство семейства вещественных функций $f_{\alpha} \,\colon X\to R$, где $\alpha\in A, A$ — некоторое множество индексов, $X$ — произвольное множество, означающее, что все функции семейства ограничены одной константой $C$. $\exists C > 0 \; \forall \alpha \in A \; \forall x \in X \; |f_\alpha(x)|\leqslant C.$


определение
Пусть $f \,\colon [a;b] \to R^{n} $. Тогда вариацией (также полной вариацией или полным изменением) функции $f$ на отрезке $[a;b]$ называется следующая величина: $ V_{a}^{b} f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_P\sum\limits_{k=0}^m\|f(x_{k+1})-f(x_k)\|$, то есть точная верхняя грань по всем разбиениям $P$ отрезка $[a,\;b]$ длин ломаных в $ R^{n} $, концы которых соответствуют значениям $f$ в точках разбиения.

А такое решение верно?
$| \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} (k_{n}(t,s)-k(t,s))x(s)dsd \beta (t)| \leqslant \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} |x(s)(k_{n}(t,s)-k(t,s))dsd \beta (t)| \leqslant ||x||\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} |(k_{n}(t,s)-k(t,s))dsd \beta (t)|$
Допустим $\exists \varepsilon_{0} > 0 \,\colon \forall n \in \mathbb{N}$
$\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} |(k_{n}(t,s)-k(t,s))dsd \beta (t)| > \varepsilon_{0}$. Пусть $M=\iint\limits_{ [0,1]^{2} } |dsd \beta (t)|, \forall n \in \mathbb{N}$
$ M_{n} = \{ (t,s) \in [0,1]^{2} \,\colon |k_{n}(t,s)-k(t,s)| > \frac{\varepsilon_{0} }{ 2 M} \} $, $ \overline{M_{n}} = [0,1]^{2} \setminus M_{n}, \mu_{n} \,\colon = \iint\limits_{ M_{n} } |ds d \beta (t)| $

В силу равномерной ограниченности семейства функций k_{n} и ограниченности функции k\exists C>0 \,\colon \forall n,t,s |k_{n}(t,s)-k(t,s)|<C Значит, \iint\limits_{\overline{ M_{n}} }|k_{n}(t,s)-k(t,s)| |dsd \beta (t)| \leqslant \iint\limits_{\overline{ M_{n}} }\frac{ \varepsilon _{0} }{ 2 M } |dsd \beta (t)| \leqslant \iint\limits_{ [0,1]^{2} }\frac{ \varepsilon _{0} }{ 2 M } |dsd \beta (t)| = M \frac{ \varepsilon _{0} }{ 2 M } = \frac{ \varepsilon _{0} }{ 2 }

Отсюда, \iint\limits_{ M_{n} }|k_{n}(t,s)-k(t,s)| |dsd \beta (t)| > \frac{ \varepsilon _{0} }{ 2 }

С другой стороны, \iint\limits_{ M_{n} }|k_{n}(t,s)-k(t,s)| |dsd \beta (t)| \leqslant C \mu_{n} \Longrightarrow \mu_{n}>\frac{ \varepsilon _{0} }{ 2 C } Таким образом, имеем последовательность подмножеств M_{n} квадрата [0,1]^{2}, имеющих положительную, причем равномерно по n отделенную от нуля "меру" \mu_{n}. Значит, обязана найтись точка (t1,s1) \in [0,1]^{2}, принадлежащая бесконечному числу множеств M_{n}. т.е., существует последовательность номеров n_{k} \,\colon \forall k \in \mathbb{N} |k_{n}(t1,s1) - k(t1,s1)|>\frac{ \varepsilon _{0} }{ 2 }. Но это противоречит поточечной сходимости k_{n} и k. Значит, A_{n} \rightharpoonup A

[Brukvalub]

Ivan0001 в сообщении #842776 писал(а):

....
Допустим $\exists \varepsilon_{0} > 0 \,\colon \forall n \in \mathbb{N}$
$\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} |(k_{n}(t,s)-k(t,s))dsd \beta (t)| > \varepsilon_{0}$...

Есть ощущение, что неверно записано отрицание доказываемого утверждения.

[Ivan0001]

Есть ли различия между "равномерной по $n$ ограниченностью" и просто "равномерной ограниченностью" семейства функций?

[Ivan0001]

Brukvalub в сообщении #842796 писал(а):

Есть ощущение, что неверно записано отрицание доказываемого утверждения.

Да, должно быть:

Допустим $\exists \varepsilon_{0} > 0 \,\colon \forall N \in \mathbb{N} \exists n>N \,\colon$
$\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} |(k_{n}(t,s)-k(t,s))dsd \beta (t)| \geqslant \varepsilon_{0}$