2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Найти сумму ряда
Сообщение07.04.2014, 19:37 
Аватара пользователя
Еще раз всем здравствуйте,
необходимо вычислить:
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac {1}{n}$
подскажите как решать?

По признаку Лейбница ряд сходится, т.к.
1) $|-1|>|1/2|>|-1/3|>...$ (монотонное убывание)
2) $\lim_{n \to \infty}\frac {1}{n}=0 $
а что дальше делать я не знаю :facepalm:

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение08.04.2014, 09:50 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения

PUMA
Приведите попытки решения.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
вернул


Рассмотрите ряд Маклорена для $\ln (1+x)$.

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение08.04.2014, 15:11 
Аватара пользователя
если находить последовательность частичных сумм, то получается
$-1,- \frac{1}{2},- \frac{5}{6}, - \frac{23}{12}, - \frac{127}{60},... $
в знаменателе однозначно факториал,правда последние 2 числа и числитель и знаменатель надо умножить на 2... а числитель тогда 1,1,5,23,127. :o я поняла что это ln(2), но как к нему прийти не доходит :facepalm:

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение08.04.2014, 15:15 
Степенной ряд сообразите на основе этого. Такой, чтобы в какой-то точке их значения совпадали.
Вообще, если уж Вас просят найти сумму ряда, то без этого метода на занятиях обойтись никак не могли.

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение08.04.2014, 15:18 
Я бы просто вынес минус за знак суммы, выписал бы ряд Маклорена для $\ln(1+x)$ и...

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение08.04.2014, 15:20 
Аватара пользователя
А откуда Вы знаете, что именно для этой функции? Вы, наверное, заглядывали в ответ!

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение08.04.2014, 15:22 
Аватара пользователя
Тут можно воспользоваться свойствами степенных рядов, о чём уже говорилось.
Просто чисто формально представим числовой ряд в виде
$$-1+\dfrac12-\dfrac13+\dfrac14-\dfrac15+...=-x+\dfrac {x^2}2-\dfrac {x^3}3+\dfrac {x^4}4-\dfrac {x^5}5+...\bigg |_{x=1}=$$
Мы тут сознательно подбираем показатели степеней так, чтобы в последующем "убить" знаменатели. А это можно сделать с помощью дифференцирования.

Ну вот, уже уважаемая Otta всё написала. Но я хотя бы как наглядный пример оставлю :-)

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение08.04.2014, 16:25 
А ещё можно воспользоваться тождеством
$$
\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}.
$$
Если последнюю сумму интерпретировать как интегральную сумму, можно будет найти и предел при $n \to \infty$.

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение08.04.2014, 20:56 
Аватара пользователя
svv в сообщении #847165 писал(а):
А откуда Вы знаете, что именно для этой функции? Вы, наверное, заглядывали в ответ!

:D перелопатила половину инета, нашла подобный пример только степень n+1, пересмотрела ряды Маклорена и единственное, что более менее подходит так это ln. А потом нашла магическую штуку :mrgreen: - wolframalpha, только там ничего не понятно, кроме того ответа, который и предполагался.
Otta Вот честно, смотрела тетрадь по матану и ни одного примера на вычисление степенного ряда, одна только сходимость и расходимость есть. И причем тут дифференцирование я не пойму :facepalm:
Всё...у меня в голове каша :|

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение08.04.2014, 21:02 
Ну а сумму рядов как тогда считали? Как-то же считали. Так не бывает - никогда не делали и нате задание.

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение08.04.2014, 21:18 
Аватара пользователя
Почленное дифференцирование или интегрирование степенного ряда это один из приёмов нахождения сумм числовых рядов. Конечно, этот приём срабатывает при некоторых условиях, которые изложены в теории.
Ну вот Ваш случай.
$$-1+\dfrac12-\dfrac13+\dfrac14-\dfrac15+...=-x+\dfrac {x^2}2-\dfrac {x^3}3+\dfrac {x^4}4-\dfrac {x^5}5+...\bigg |_{x=1}$$
Предположим, что степенной ряд сходится к некоторой функции.
$$f(x)=-x+\dfrac {x^2}2-\dfrac {x^3}3+\dfrac {x^4}4-\dfrac {x^5}5+...$$
Продифференцируем её.
$$f'(x)=(-x+\dfrac {x^2}2-\dfrac {x^3}3+...)'=-1+\dfrac {2x}2-\dfrac {3x^2}3+\dfrac {4x^3}4-...=-1+x-x^2+x^3-x^4+x^5-...$$
Мы получили самую обычную геометрическую прогрессию. Найдём её сумму по обычной школьной формуле.
$$f'(x)=-1+x-x^2+x^3-x^4+x^5-...=\dfrac{-1}{1-(-x)}=\dfrac{-1}{1+x}$$
Теперь по производной найдём функцию (на самом деле немного тщательнее, определённым интегралом или с нахождением аддитивной константы, да и сходимость в единице надо доказать через непрерывность.)
$$f(x)=\int f'(x)dx=\int\dfrac{-1}{1+x}dx=-\ln(1+x)+C(=0)$$
И, окончательно,
$$-1+\dfrac12-\dfrac13+...=f(1)=-\ln2$$

:?: :?: По-моему, не тянет на выкладывание решения? Идею и ответ уже сказали, а тут ещё надо аккуратно всё обосновать. :oops:

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение08.04.2014, 21:21 
Аватара пользователя
gris в сообщении #847318 писал(а):
Конечно, этот приём срабатывает при некоторых условиях

А при каких, всё-таки?

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение08.04.2014, 21:25 
Аватара пользователя
При изложенных в учебнике. Кстати, пренебрежение этими условиями тоже интересно. Оно приводит к идее "суммирования" в некотором смысле расходящихся рядов и многократно обсуждалось на форуме.

Заглянул в Демидовича. Там это называется "Метод Абеля" и есть несколько задач.

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение08.04.2014, 21:33 
Аватара пользователя
gris, благодарю, идею поняла 8-)

 
 
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение08.04.2014, 21:34 
Частичную сумму данного ряда тождественными преобразованиями можно выразить через две частичные суммы гармонического ряда 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/N. После этого, пользуясь известным пределом $\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1$, можно получить представление $\frac{1}{n}=ln(n+1)-ln(n)+o(\frac{1}{n})$. Это позволяет преобразовать частичную сумму к виду, удобному для вычисления предела (без ссылок на общую теорию степенных рядов).

 
 
 [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group