Найти сумму ряда

[PUMA]

Еще раз всем здравствуйте,
необходимо вычислить:
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac {1}{n}$
подскажите как решать?

По признаку Лейбница ряд сходится, т.к.
1) $|-1|>|1/2|>|-1/3|>...$ (монотонное убывание)
2) $\lim_{n \to \infty}\frac {1}{n}=0 $
а что дальше делать я не знаю

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения

PUMA
Приведите попытки решения.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
вернул

Рассмотрите ряд Маклорена для $\ln (1+x)$.

[PUMA]

если находить последовательность частичных сумм, то получается
$-1,- \frac{1}{2},- \frac{5}{6}, - \frac{23}{12}, - \frac{127}{60},... $
в знаменателе однозначно факториал,правда последние 2 числа и числитель и знаменатель надо умножить на 2... а числитель тогда 1,1,5,23,127. я поняла что это ln(2), но как к нему прийти не доходит

[Otta]

Степенной ряд сообразите на основе этого. Такой, чтобы в какой-то точке их значения совпадали.
Вообще, если уж Вас просят найти сумму ряда, то без этого метода на занятиях обойтись никак не могли.

[Limit79]

Я бы просто вынес минус за знак суммы, выписал бы ряд Маклорена для $\ln(1+x)$ и...

[svv]

А откуда Вы знаете, что именно для этой функции? Вы, наверное, заглядывали в ответ!

[gris]

Тут можно воспользоваться свойствами степенных рядов, о чём уже говорилось.
Просто чисто формально представим числовой ряд в виде

$$-1+\dfrac12-\dfrac13+\dfrac14-\dfrac15+...=-x+\dfrac {x^2}2-\dfrac {x^3}3+\dfrac {x^4}4-\dfrac {x^5}5+...\bigg |_{x=1}=$$

Мы тут сознательно подбираем показатели степеней так, чтобы в последующем "убить" знаменатели. А это можно сделать с помощью дифференцирования.

Ну вот, уже уважаемая Otta всё написала. Но я хотя бы как наглядный пример оставлю

[nnosipov]

А ещё можно воспользоваться тождеством

$$ \sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}. $$

Если последнюю сумму интерпретировать как интегральную сумму, можно будет найти и предел при $n \to \infty$.

[PUMA]

svv в сообщении #847165 писал(а):

А откуда Вы знаете, что именно для этой функции? Вы, наверное, заглядывали в ответ!

перелопатила половину инета, нашла подобный пример только степень n+1, пересмотрела ряды Маклорена и единственное, что более менее подходит так это ln. А потом нашла магическую штуку - wolframalpha, только там ничего не понятно, кроме того ответа, который и предполагался.
Otta Вот честно, смотрела тетрадь по матану и ни одного примера на вычисление степенного ряда, одна только сходимость и расходимость есть. И причем тут дифференцирование я не пойму
Всё...у меня в голове каша

[Otta]

Ну а сумму рядов как тогда считали? Как-то же считали. Так не бывает - никогда не делали и нате задание.

[gris]

Почленное дифференцирование или интегрирование степенного ряда это один из приёмов нахождения сумм числовых рядов. Конечно, этот приём срабатывает при некоторых условиях, которые изложены в теории.
Ну вот Ваш случай.

$$-1+\dfrac12-\dfrac13+\dfrac14-\dfrac15+...=-x+\dfrac {x^2}2-\dfrac {x^3}3+\dfrac {x^4}4-\dfrac {x^5}5+...\bigg |_{x=1}$$

Предположим, что степенной ряд сходится к некоторой функции.

$$f(x)=-x+\dfrac {x^2}2-\dfrac {x^3}3+\dfrac {x^4}4-\dfrac {x^5}5+...$$

Продифференцируем её.

$$f'(x)=(-x+\dfrac {x^2}2-\dfrac {x^3}3+...)'=-1+\dfrac {2x}2-\dfrac {3x^2}3+\dfrac {4x^3}4-...=-1+x-x^2+x^3-x^4+x^5-...$$

Мы получили самую обычную геометрическую прогрессию. Найдём её сумму по обычной школьной формуле.

$$f'(x)=-1+x-x^2+x^3-x^4+x^5-...=\dfrac{-1}{1-(-x)}=\dfrac{-1}{1+x}$$

Теперь по производной найдём функцию (на самом деле немного тщательнее, определённым интегралом или с нахождением аддитивной константы, да и сходимость в единице надо доказать через непрерывность.)

$$f(x)=\int f'(x)dx=\int\dfrac{-1}{1+x}dx=-\ln(1+x)+C(=0)$$

И, окончательно,

$$-1+\dfrac12-\dfrac13+...=f(1)=-\ln2$$

По-моему, не тянет на выкладывание решения? Идею и ответ уже сказали, а тут ещё надо аккуратно всё обосновать.

[kp9r4d]

gris в сообщении #847318 писал(а):

Конечно, этот приём срабатывает при некоторых условиях

А при каких, всё-таки?

[gris]

При изложенных в учебнике. Кстати, пренебрежение этими условиями тоже интересно. Оно приводит к идее "суммирования" в некотором смысле расходящихся рядов и многократно обсуждалось на форуме.

Заглянул в Демидовича. Там это называется "Метод Абеля" и есть несколько задач.

[PUMA]

gris, благодарю, идею поняла

[armez]

Частичную сумму данного ряда тождественными преобразованиями можно выразить через две частичные суммы гармонического ряда 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/N. После этого, пользуясь известным пределом $\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1$, можно получить представление $\frac{1}{n}=ln(n+1)-ln(n)+o(\frac{1}{n})$. Это позволяет преобразовать частичную сумму к виду, удобному для вычисления предела (без ссылок на общую теорию степенных рядов).