Интеграл Лебега

[трапезун]

Помогите, пожалуйста, разобраться:
1) Доказать, что утверждение теоремы Лебега об ограниченной сходимости остаётся верным, если условие f_n\rightarrow f почти всюду на A заменить на условие f_n\rightarrow f по мере \mu на A.
2) Пусть f суммируема на \mathbb{R}, \lambda -мера Лебега на \mathbb{R}. И пусть \int_a^b f d\lambda=0, \forall a, b\in\mathbb{R}, a<b. Тогда f\equiv 0 почти всюду на
\mathbb{R}.

[Brukvalub]

1. Изучаете доказательство исходной теоремы и смотрите, какие изменения в него нужно внести, чтобы доказать её в новых предположениях.
2. Попробуйте рассуждать "от противного".

[Шариков]

1. Березанский, Ус, Шефтель. Функциональный анализ. стр. 105.
К сожалению, в этой книге в главе, посвящённой интегрированию, много ошибок. Поэтому, возможно, было написано пособие Дороговцева с каким-то названием Мера, теория интегрирования, небольшое в голубой обложке, по нему и учились, лучше там смотреть.
2. Возможно, f породит две меры с плотностями sup{f,0} и sup{-f,0}, совпадающие на R. Поэтому sup{f,0}=sup{-f,0} локально почти всюду, а так как R счётно в бесконечности, то и почти всюду.