Неревалентное решения уравнений масксвелла

[Sicker]

Я сейчас тоже попишу
Я тоже рассматривал цилиндрическую систему координат в силу симметрии, только я предположил, что электрическая напряженность направлена по оси $\rho$, те есть только $E_\rho$ не ноль все время, а магнитная индукция направлена по $\varphi$, и соответственно она не ноль все время
Если учесть, что внешний дифференциал формы инвариантен относительно произвольных гладких преобразований координат, то можно не заморачиваться с роторами в цилиндрических системах координат
Мы используем лишь два роторных уравнения, потому что начальные задания напряженностей электрического и магнитного полей однозначно определяют заряды, которые при дальнейшей эволюции поля при помощи двух роторных уравнений будут подчиняться уравнению непрерывности ( токи во всем времени и пространстве заданы)
Я толком не считал, но там в общих чертах получится такая система
$G(\rho,\partial_\rho{E_\rho})=\partial_t{H_\varphi}$
$K(\rho,\partial_\rho{H_\varphi})=\partial_t{E_\rho}+j(\rho,t)$
С начальными условиями $E_{\rho0}=E_\rho(\rho,t_0);H_{\varphi0}=0$ А $j(\rho,t)$ задано

[Munin]

Sicker в сообщении #846058 писал(а):

Если учесть, что внешний дифференциал формы инвариантен относительно произвольных гладких преобразований координат, то можно не заморачиваться с роторами в цилиндрических системах координат

Да и на уровне простого векторного анализа можно не заморачиваться с роторами в цилиндрических системах координат :-) Просто рано или поздно надо будет перейти к координатам, и разделить координаты в системе.

Sicker в сообщении #846058 писал(а):

Мы используем лишь два роторных уравнения

Чё ж вы так вцепились в эти "только роторные уравнения"? :-) В большинстве выкладок надо использовать все уравнения Максвелла.

Моим способом (не моим, разумеется, но упомянутым мной), мы имеем два расцепленных волновых уравнения для электрического и магнитного полей (причём, получены они из всех четырёх уравнений Максвелла):

$$\begin{aligned}\Delta\mathbf{E}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}&=4\pi\operatorname{grad}\varrho+\dfrac{4\pi}{c^2}\dfrac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}\\\Delta\mathbf{H}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf{H}}{\partial t^2}&=-\dfrac{4\pi}{c}\operatorname{rot}\mathbf{j},\\\end{aligned}$$

в которые легко подставляются условия:

$$\begin{alignedat}\\\operatorname{grad}\varrho&=-\varrho\hat{\boldsymbol{\rho}}\,\delta(\rho-R)\\\dfrac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}&=J\hat{\boldsymbol{z}}\,\theta(R-\rho)&&\cdot\theta(t)\\\operatorname{rot}\mathbf{j}&=-Jt\hat{\boldsymbol{\varphi}}\,\delta(\rho-R)&&\cdot\theta(t)\\\end{alignedat}$$

-- 06.04.2014 13:42:53 --

Теперь имеем для электрического поля по $(\rho,\varphi)$ статический источник, то есть $E_{\rho,\varphi}=E_{\rho,\varphi}\bigr|_{t<0}.$ По $z$ имеем тоже статический источник, но появившийся в момент времени $t=0,$ поэтому надо честно решать

$$\Delta E_z-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 E_z}{\partial t^2}=\text{источник}\,(\rho,t).$$

Решение можно выписать явно, хотя мне лень. Впрочем, качественно понятно, что это будет: расходящаяся по радиусу волна из нуля в решение для статического источника, со сглаженным фронтом из-за конечной ширины цилиндра. Решение для $\mathbf{H}$ вообще не обязательно искать, а можно вычислить его из электрического поля по уравнениям Максвелла.

[Sicker]

Цитата:

Чё ж вы так вцепились в эти "только роторные уравнения"? В большинстве выкладок надо использовать все уравнения Максвелла.

А потому что только они определяют динамику эволюции поля

Цитата:

Моим способом (не моим, разумеется, но упомянутым мной), мы имеем два расцепленных волновых уравнения для электрического и магнитного полей (причём, получены они из всех четырёх уравнений Максвелла):

$$\begin{aligned}\Delta\mathbf{E}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}&=4\pi\operatorname{grad}\varrho+\dfrac{4\pi}{c^2}\dfrac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}\\\Delta\mathbf{H}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf{H}}{\partial t^2}&=-\dfrac{4\pi}{c}\operatorname{rot}\mathbf{j},\\\end{aligned}$$

Согласен

Цитата:

в которые легко подставляются условия:

$$\begin{alignedat}\\\operatorname{grad}\varrho&=-\varrho\hat{\boldsymbol{\rho}}\,\delta(\rho-R)\\\dfrac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}&=J\hat{\boldsymbol{z}}\,\theta(R-\rho)&&\cdot\theta(t)\\\operatorname{rot}\mathbf{j}&=-Jt\hat{\boldsymbol{\varphi}}\,\delta(\rho-R)&&\cdot\theta(t)\\\end{alignedat}$$

Что такое $J$ и что за функция $\varphi$, которая зависит от времени, это не угол?

Цитата:

Теперь имеем для электрического поля по $(\rho,\varphi)$ статический источник, то есть $E_{\rho,\varphi}=E_{\rho,\varphi}\bigr|_{t<0}.$ По $z$ имеем тоже статический источник, но появившийся в момент времени $t=0,$ поэтому надо честно решать

$$\Delta E_z-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 E_z}{\partial t^2}=\text{источник}\,(\rho,t).$$

Решение можно выписать явно, хотя мне лень. Впрочем, качественно понятно, что это будет: расходящаяся по радиусу волна из нуля в решение для статического источника, со сглаженным фронтом из-за конечной ширины цилиндра. Решение для $\mathbf{H}$ вообще не обязательно искать, а можно вычислить его из электрического поля по уравнениям Максвелла.

те по $z$ все же поле будет? Значит мое предположение неверно
У нас есть волновое уравнение второго порядка, для его решения помимо задания начальных напряженностей электрического поля нужно задать скорость изменения поля в момент времени $t=0$, я так поминаю он вычисляется из ротора магнитного поля, те будет нуль?
И какова будет конечная напряженность поля $E_z$? А составляющие $E_{\rho}$ и $E_{\varphi}$ вообще не изменятся?
А можете в каком-нибудь 3D-пакете построить анимацию?

[Munin]

Sicker в сообщении #846692 писал(а):

А потому что только они определяют динамику эволюции поля :-)

Неправда.

Динамику определяют все уравнения вместе взятые. При этом, часть из этих уравнений - уравнения связи. Про них можно сказать, что они "динамику не определяют". Но дело в том, что эту часть можно выделить по-разному. Например, при смене системы отсчёта уравнения Максвелла переходят друг в друга. (Упражнение, если вы такой вояка: написать преобразование уравнений Максвелла в систему отсчёта, движущуюся со скоростью $v,$ в трёхмерном виде (пользуясь готовыми преобразованиями Лоренца для полей), и убедиться в форм-инвариантности; повторить это всё в 4-мерном виде.)

Важно то, что отделить уравнения динамики от уравнений связи нельзя ковариантным образом. Поэтому надо иметь в виду все уравнения вместе.

Sicker в сообщении #846692 писал(а):

Что такое $J$ и что за функция $\varphi$, которая зависит от времени, это не угол?

$J$ - это константа роста тока, $j=Jt,$ я понадеялся, что это будет очевидно, как и другая константа $\varrho$ - плотность заряда (чтобы не путать с радиальной координатой, взял другое написание).

Функция $\theta(x),\vartheta(x)$ - функция Хевисайда ("ступенька", тета-функция, единичная функция), обозначаемая в англоязычной литературе $H(x),$ и иногда используются обозначения $u(x),1(x)$ и другие.
$\theta(x)=\begin{cases}0,&x<0\\1,&x>0\end{cases},$ в нуле доопределяется по-разному. $\boxed{\theta{\mskip 1.5mu}'{\mskip -1.5mu}(x)=\delta(x)}$

[Munin]

Sicker в сообщении #846692 писал(а):

те по $z$ все же поле будет? Значит мое предположение неверно :mrgreen: ...
А составляющие $E_{\rho}$ и $E_{\varphi}$ вообще не изменятся?

Да, но - это только в случае применения тех граничных условий и условий симметрии, которые я домыслил, исходя из вашего описания задачи. Уравнения Максвелла сами по себе имеют дело не непосредственно с полями, а с их производными, и поэтому в выборе решения остаётся некоторый произвол. Об этом надо всегда помнить, и фиксировать этот произвол с помощью именно таких граничных (и других) условий, которые соответствуют реальности и эксперименту (или в наиболее полной мере соответствуют вашему мысленному эксперименту).

Sicker в сообщении #846692 писал(а):

И какова будет конечная напряженность поля $E_z$?

Это проще. Мы выкидываем временну́ю часть из волнового уравнения, и получаем уравнение Лапласа на плоскости:

$$\Delta E_z=\text{однородно заряженный круг}.$$

Это будет $E_z\sim\rho$ внутри цилиндра, и $E_z\sim 1/\rho$ вне цилиндра. Полное волновое решение можно выписать, например, из Полянина "Справочник по линейным уравнениям математической физики", но там оно в неявном виде через свёртку с функцией Грина, которая сама задана в виде ряда с функциями Бесселя. Возможно, есть более простое представление, но я его не знаю навскидку.

Sicker в сообщении #846692 писал(а):

А можете в каком-нибудь 3D-пакете построить анимацию? :D

Вот с этим у меня нет опыта.

[Sicker]

Цитата:

Динамику определяют все уравнения вместе взятые. При этом, часть из этих уравнений - уравнения связи. Про них можно сказать, что они "динамику не определяют". Но дело в том, что эту часть можно выделить по-разному. Например, при смене системы отсчёта уравнения Максвелла переходят друг в друга. (Упражнение, если вы такой вояка: написать преобразование уравнений Максвелла в систему отсчёта, движущуюся со скоростью $v,$ в трёхмерном виде (пользуясь готовыми преобразованиями Лоренца для полей), и убедиться в форм-инвариантности; повторить это всё в 4-мерном виде.)

Выполнено, товарищ прапор

Цитата:

Важно то, что отделить уравнения динамики от уравнений связи нельзя ковариантным образом. Поэтому надо иметь в виду все уравнения вместе.

ну нельзя, и что? Я вовсе не отрицаю, что уравнения связи (которые с дивергенцией) не нужны, вы неправильно поняли)
Просто когда я говорю о дифференциальных уравнениях, я имею ввиду и начальные условия(и другие фиксированные условия во времени и пространстве), которые как раз и определяются уравнениями связи, но дальше они не нужны(или нужны для расчета последующих распределений зарядов)
Или придумайте мне задачу, где я бы не обошелся двумя роторными уравнениями при непосредственном решении дифференциального уравнения эволюции поля

Цитата:

другая константа $\varrho$ - плотность заряда (чтобы не путать с радиальной координатой, взял другое написание).

я догадался))

Цитата:

Функция $\theta(x),\vartheta(x)$ - функция Хевисайда ("ступенька", тета-функция, единичная функция), обозначаемая в англоязычной литературе $H(x),$ и иногда используются обозначения $u(x),1(x)$ и другие.
$\theta(x)=\begin{cases}0,&x<0\\1,&x>0\end{cases},$ в нуле доопределяется по-разному. $\boxed{\theta{\mskip 1.5mu}'{\mskip -1.5mu}(x)=\delta(x)}$

ясно, я про нее раньше знал, только не встречал (или забыл) такое обозначение
А что означает $\theta(t)$?

[Munin]

Munin в сообщении #846761 писал(а):

Sicker в сообщении #846692 писал(а):

И какова будет конечная напряженность поля $E_z$?

Это проще. Мы выкидываем временну́ю часть из волнового уравнения, и получаем уравнение Лапласа на плоскости:

$$\Delta E_z=\text{однородно заряженный круг}.$$

Это будет $E_z\sim\rho$ внутри цилиндра, и $E_z\sim 1/\rho$ вне цилиндра.

Я наврал. Здесь $E_z$ играет роль потенциала в уравнении Лапласа, и поэтому решение будет $E_z\sim-\rho^2$ внутри цилиндра, и... $E_z\sim-\ln\rho$ вне цилиндра. Видно, что вне цилиндра $\lim_{\rho\to\infty}E_z\ne 0,$ и отсюда следует, что волна вообще не достигнет окончательной формы, а будет расти и расти бесконечно, не только на фронте, но и в центральной области.

[Sicker]

Цитата:

а будет расти и расти бесконечно, не только на фронте, но и в центральной области.

на фронте понятно(удаляемся по $\rho$), но почему в центральной будет расти, там же ноль будет не?

[Munin]

Sicker в сообщении #846775 писал(а):

Я вовсе не отрицаю, что уравнения связи (которые с дивергенцией) не нужны

Они как раз нужны :-)

И не ставьте знак равенства между "уравнения связи" и "которые с дивергенцией". Если вы выполнили упражнение, то знаете, что это не так.

Sicker в сообщении #846775 писал(а):

Просто когда я говорю о дифференциальных уравнениях, я имею ввиду и начальные условия(и другие фиксированные условия во времени и пространстве), которые как раз и определяются уравнениями связи, но дальше они не нужны(или нужны для расчета последующих распределений зарядов)

Начальные условия нужны не для уравнений связи :-) Как раз основное назначение начальных условий - никак не связано с уравнениями связи, оно нужно, чтобы фиксировать произвол в решении (иначе решение получается не однозначной функцией, а большим семейством функций). Но при наличии уравнений связи, начальные условия тоже должны удовлетворять уравнениям связи, иначе будет ай-яй-яй.

Sicker в сообщении #846775 писал(а):

Или придумайте мне задачу, где я бы не обошелся двумя роторными уравнениями при непосредственном решении дифференциального уравнения эволюции поля

Всё очень просто: берём задачу не в пролупространстве $t>0,$ а в $x>0.$ И вы быстро обнаружите, что часть ваших роторных уравнений стала уравнениями связи, а вот уравнения дивергенции резко понадобились в процессе интегрирования :-)

Sicker в сообщении #846775 писал(а):

А что означает $\theta(t)$?

Очевидно, что при $t<0$ тока не текло (и $\partial j_z/\partial t$ было $=0$), а при $t>0$ - потекло (и $\partial j_z/\partial t$ стало $=J$).

-- 07.04.2014 18:18:22 --

Sicker в сообщении #846777 писал(а):

на фронте понятно(удаляемся по $\rho$), но почему в центральной будет расти, там же ноль будет не?

Там будет не 0. Заряд-то никуда не девается. Установится некая форма "после волны", и будет продолжать "подниматься вверх" как целое.

Я неаккуратно написал выше: $E_z\sim\rho^2+C$ и $E_z\sim-\ln\rho+C.$ Вот эта $C$ и будет расти.

[Sicker]

Цитата:

Они как раз нужны

ну вот я этого и не отрицаю

Цитата:

И не ставьте знак равенства между "уравнения связи" и "которые с дивергенцией". Если вы выполнили упражнение, то знаете, что это не так.

эммм, поподробнее? Я получил, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца, мне не понадобилось из них выделять уравнения связи и не-связи

Цитата:

Начальные условия нужны не для уравнений связи Как раз основное назначение начальных условий - никак не связано с уравнениями связи, оно нужно, чтобы фиксировать произвол в решении (иначе решение получается не однозначной функцией, а большим семейством функций). Но при наличии уравнений связи, начальные условия тоже должны удовлетворять уравнениям связи, иначе будет ай-яй-яй.

да да, конечно Просто тогда уравнения связи автоматически следуют из роторных уравнений (разумеется при задании во всем пространстве и времени плотностей зарядов(или токов и начальных зарядов))

Цитата:

И вы быстро обнаружите, что часть ваших роторных уравнений стала уравнениями связи, а вот уравнения дивергенции резко понадобились в процессе интегрирования

у меня проблемы с дивергенцией тока на границе $x=0$

Цитата:

Очевидно, что при $t<0$ тока не текло (и $\partial j_z/\partial t$ было $=0$), а при $t>0$ - потекло (и $\partial j_z/\partial t$ стало $=J$).

точняк

Цитата:

Я неаккуратно написал выше: $E_z\sim\rho^2+C$ и $E_z\sim-\ln\rho+C.$ Вот эта $C$ и будет расти.

Ясно, а как поведет себя поле если цилиндр остановится? Просто застынет?

[Munin]

Sicker в сообщении #846790 писал(а):

Я получил, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца

Замечательно. Взятые вместе, а не если делить их на "уравнения с дивергенцией" и "уравнения с ротором". Не так ли?

Sicker в сообщении #846790 писал(а):

мне не понадобилось из них выделять уравнения связи и не-связи

Это хорошо. Но в других своих высказываниях вы их пытаетесь выделять.

Sicker в сообщении #846790 писал(а):

Просто тогда уравнения связи автоматически следуют из роторных уравнений (разумеется при задании во всем пространстве и времени плотностей зарядов(или токов и начальных зарядов))

Это не называется "следуют из роторных уравнений". Это называется "следуют из роторных уравнений и ещё кучи фигни". Если $(A,B)\Rightarrow C,$ то это не значит, что $A\Rightarrow C.$

Sicker в сообщении #846790 писал(а):

у меня проблемы с дивергенцией тока на границе $x=0$ :roll:

А где в уравнениях Максвелла фигурирует дивергенция тока, я что-то не понял?

Sicker в сообщении #846790 писал(а):

Ясно, а как поведет себя поле если цилиндр остановится? Просто застынет?

Во-первых, не забывайте, что он у вас не просто движется, а ускоряется. Если бы просто двигался, то волна была бы попроще.

Если цилиндр остановится, то от него пойдёт "противоположная" волна вдогонку к разошедшейся "первой". В центральной области останется решение $\Delta E_z=0,$ то есть константа (скорей всего, нулевая).

[Sicker]

Цитата:

Замечательно. Взятые вместе, а не если делить их на "уравнения с дивергенцией" и "уравнения с ротором". Не так ли?

ну да, конечно

Цитата:

Это хорошо. Но в других своих высказываниях вы их пытаетесь выделять.

только если рассматриваем одну систему отсчета

Цитата:

Это называется "следуют из роторных уравнений и ещё кучи фигни"

я это и имел ввиду

(Оффтоп)

А это разве не называется начальными условиями?

Цитата:

А где в уравнениях Максвелла фигурирует дивергенция тока, я что-то не понял?

нигде
Тогда на границе $x=0$ будет заряд поверхностной плотности, линейно меняющийся со временем, или равный дельта функции объемной плотности заряда
А дальше используем роторные уравнения

Цитата:

Если цилиндр остановится, то от него пойдёт "противоположная" волна вдогонку к разошедшейся "первой". В центральной области останется решение $\Delta E_z=0,$ то есть константа (скорей всего, нулевая).

ясно
А кстати вы не ответили на вопрос о начальных условиях в волновом уравнении для электрической составляющей по $z$, начальная скорость изменения поля будет ноль?

[Munin]

Sicker в сообщении #846818 писал(а):

Тогда на границе $x=0$ будет заряд поверхностной плотности, линейно меняющийся со временем

Или нет. За эту поверхность заряд может уходить, и исчезать вдали.

Sicker в сообщении #846818 писал(а):

А дальше используем роторные уравнения

Ну покажите как :-)

Такое чувство, что вы ЛЛ-2 читали, а учебников по ураматам - не читали. Подтвердите, так ли это? Если да - УМФ вам срочно штудировать.

Sicker в сообщении #846818 писал(а):

А кстати вы не ответили на вопрос о начальных условиях в волновом уравнении для электрической составляющей по $z$, начальная скорость изменения поля будет ноль?

Начальные условия там надо как-то так подбирать, чтобы не было сходящихся волн, только расходящаяся. Я исходил из этого. Вне цилиндра будет ноль, а в цилиндре... смотреть надо.

[Sicker]

Цитата:

Или нет. За эту поверхность заряд может уходить, и исчезать вдали.

ага...

Цитата:

Ну покажите как

пока никак

Цитата:

Такое чувство, что вы ЛЛ-2 читали, а учебников по ураматам - не читали. Подтвердите, так ли это?

да, так

Цитата:

Начальные условия там надо как-то так подбирать, чтобы не было сходящихся волн, только расходящаяся. Я исходил из этого. Вне цилиндра будет ноль, а в цилиндре... смотреть надо.

хмм, а разве они не однозначно определяются заданием напряженности электрических и магнитных полей?(магнитное поле будет нуль, очевидно, а электрическое из гаусса легко посчитать)
И ротор нулевого магнитного поля будет ноль, получается начальная скорость изменения электрического поля ноль

[Munin]

Sicker в сообщении #846842 писал(а):

хмм, а разве они не однозначно определяются заданием напряженности электрических и магнитных полей?

А, точно, я тормоз! Да.