Помогите разобраться с индукцией.

[ghetto]

Пусть

$$ \begin{matrix} a_{11}x_1 & + & \ldots & + & a_{1n}x_n & = &0 \\ \vdots & && & \vdots \\ a_{m1}x_1 & + & \ldots & + & a_{mn}x_n & = & 0 \\ \end{matrix} $$

система $m$ линейных уравнений с $n$ не известными. Пусть $ n > m$. Тогда система имеет нетривиальное решение.

Нужно воспользоваться индукцией.

Док-во(неполное):

Рассмотрим сначала случай одного уравнения с неизвестными, $n > 1$:

Если все коэффициенты $a_1, \ldots, a_n$ равны $0$, то любое значение переменных
будет решением, и нетривиальное решение существует.

Допустим, что некоторый коэффициент $a_i \neq 0$. Пусть им будет $a_1$. Тогда мы позволим $x_2, \ldots, x_n$ иметь произвольные значения, например, $x_2, \ldots, x_n = 1$, и решим за $x_1$. Тогда

$x_1 = \frac {-1} {a_1}$ $(a_2, \ldots, a_n)$

Таким образом мы получаем не-тривиальное решение для нашей системы уравнений.

----------------------------------------------------------------------------------

Пусть $p(n)$: данная система уравнений. $p(1) = x_1$. Я правильно понимаю? Если так, то текст сверху понятен. А как дальше? Продолжение док-ва в моем учебнике я вообще не понимаю.

[Otta]

ghetto в сообщении #846380 писал(а):

$x_1 = \frac {-1} {a_1}$ $(a_2, \ldots, a_n)$

Опечатка. Исправьте, заодно лучше поймете.

ghetto в сообщении #846380 писал(а):

усть $p(n)$: данная система уравнений. $p(1) = x_1$. Я правильно понимаю?

Трудно сказать, не видя доказательства и не зная, как Вы понимаете.

ghetto в сообщении #846380 писал(а):

А как дальше? Продолжение док-ва в моем учебнике я вообще не понимаю.

Не знаю, но могу предположить. В предположении, что система А из $m-1$ уравнения имеет нетривиальное решение, напишем систему Б из $m$ уравнений. Она получена из предыдущей добавлением одного уравнения. Про одно уравнение мы уже все выяснили -

1) либо для него решения произвольные числа, а значит, и решения системы А тоже решения этого уравнения, следовательно, они будут решениями системы Б.

2) либо одна переменная - линейная комбинация других на решении. Подставляя эту линейную комбинацию в систему Б получим систему из меньшего числа переменных, то есть сведем ее к системе вида А, для которой нетривиальные решения есть по предположению индукции.

Это грубая схема, некоторые нюансы я опустила для простоты изложения.

[ghetto]

Спасибо, Otta. Можно если я скатаю остальное с учебника как есть чтоб задавать вопросы по ходу? Переводить на русский все это просто гимор.

Let us now assume that our theorem is true for a system of $m - 1$ equations in more than $m - 1$ unknowns. We shall prove that it is true for $m$ equations in $n - 1$ unknowns when $n > m$. We consider the system [above].

If all coefficients $(a_{ij})$ are equal to $0$, we can give any non-zero value to our variables to get a solution. If some coefficient is not equal to $0$, then after renumbering the equations and the variables, we may assume
that it is $a_{11}$. We shall subtract a multiple of the first equation from the others to eliminate $a_1$. Namely, we consider the system of equations


$\left(A_2 - \frac {a_{21}}{a_{11}} A_1 \right ) \cdot X = 0$

$\vdots$

$\left (A_m - \frac {a_{m1}}{a_{11}} A_1 \right ) \cdot X = 0$,



Which can be written also in the form

$(***)$

$A_2 \cdot X - \frac {a_{21}}{a_{11}} A_1 \cdot X = 0$

$\vdots$

$\left(A_m - \frac {a_{m1}}{a_{11}} A_1 \right ) \cdot X = 0$

In this system, the coefficient of $x_1$ is equal to $0$. Hence we may view
$(***)$ as a system of $m - 1$ equations in $n - 1$ unknowns, and we have
$n-1 > m-1$.

According to our assumption, we can find a non-trivial solution
$(x_2, ... ,x_n)$ for this system. We can then solve for $x_1$ in the first equation,
namely

$x_1 = \frac {-1}{a_{11}} (a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n)$.

In that way, we find a solution of $A_1 \cdot X = 0$. But according to $(***)$, we
have


$A_i \cdot X = \frac {a_{i1}}{a_{11}} A_1 \cdot X$

for $i = 2, \ldots ,m$. Hence $A_i \cdot X = 0$ for $i = 2, \ldots ,m$, and therefore we have found a non-trivial solution to our original system $(**)$. [$The$ $system$ $of$ $equations$ $in$ $the$ $OP$] The argument we have just given allows us to proceed stepwise from
one equation to two equations, then from two to three, and so forth.
This concludes the proof.

-----------------------------------------------------------------------------
Пойду-ка я пока поизучаю это док-во. Вернусь с вопросами.

[ghetto]

ghetto в сообщении #846547 писал(а):

Let us now assume that our theorem is true for a system of $m - 1$ equations in more than $m - 1$ unknowns. We shall prove that it is true for $m$ equations in $n - 1$* unknowns when $n > m$. We consider the system [above].

* Должно быть $n$ unknowns.

ghetto в сообщении #846547 писал(а):

We shall subtract a multiple of the first equation from the others to eliminate $a_1$*.

* Должно быть $x_1$.

ghetto в сообщении #846547 писал(а):

We shall subtract a multiple of the first equation from the others to eliminate $x_1$.

Пожалуйста напомните зачем это делается.

ghetto в сообщении #846547 писал(а):

$\left(A_2 - \frac {a_{21}}{a_{11}} A_1 \right ) \cdot X = 0$

Как они получили то, что внутри скобок?

Спасибо.

[Ms-dos4]

Они метод Гаусса применяют.
P.S.Кому "гимор" переводить, а кому "гимор" читать, понимая через 3 слова.

[ghetto]

Ms-dos4, замечание учтено.


Плиз, подскажите, где тут $p(n)$, $p(1)$, $p(n +1)$, $p(n) \to p(n + 1)$.

[ghetto]

Почему мы избавляемся от $x_1$ здесь? Разве мы не можем получить нетривиальные решения для этой системы уравнений даже с $(A_2 - A_1) \cdot X = 0$? Потому ли это, что вычитание первого уравнения из второго, без избавления от некоторых переменных -это просто произвольная операция не имеющая смысла?

Кроме того, при решении общей системы уравнений, почему мы избавляемся только от одной переменной, а именно $x_1$, в отличие от необщих систем уравнений, где мы обычно избавляемся от более чем одной переменной?

Спасибо.

[Ms-dos4]

ghetto
Otta уже всю логику сказала.
Я лишь могу добавить, что тут можно вообще с индукцией не возится. Существование нетривиального решения однородной системы m уравнений и n неизвестных эквивалентно линейной зависимости столбцов. Используя теорему о базисном миноре, ясно, что линейная зависимость будет тогда, когда не все столбцы базисные. Тогда система будет иметь нетривиальное решение, если $\[{\mathop{\rm rg}\nolimits} A < n\]$. В вашем случае ($\[n > m\]$) это очевидно выполняется

[ghetto]

Ms-dos4
Дело в том, что мы еще не дошли до понятия линейной независимости и теоремы о базисном миноре. Поэтому мне приходится работать с тем, что знаю. Спасибо.

Otta в сообщении #846417 писал(а):

Опечатка. Исправьте, заодно лучше поймете.

Я сверился с учебником, но там точно так же написано. Спасибо.