Взятие громоздкого интеграла

[smog]

Имеется следующий довольно таки громоздкий интеграл: \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} e^{-(\sum\limits_{k=1}^{n} \xi_{k})^{2} - \frac{\sum\limits_{k=1}^{n} (x_{k} - \xi_{k})^{2}}{4t}} d\xi _{1} d\xi_{2} ... d\xi_{n}

К сожалению, у меня нет идей как его брать, кроме как "в лоб": представить в виде n интегралов, каждый из которых сводить к интегралу вида \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2 + \beta x + \gamma}dx (который при \alpha>0 равен \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{\gamma+\frac{\beta^2}{4\alpha}}) и поочередно брать.

Быть может, кто-нибудь сталкивался с подобным и сможет предложить менее трудоемкий способ?

[Утундрий]

Не замешаны ли здесь матрицы и приведение оных къ?

[ИСН]

Нет здесь ничего громоздкого, никаких матриц, и не надо никаких идей. Брать в лоб, конечно.

[smog]

Утундрий в сообщении #845146 писал(а):

Не замешаны ли здесь матрицы и приведение оных къ?

Не замешаны.

[Otta]

Замешаны-замешаны.

[svv]

smog

Вместо $\xi_k$ я буду писать $y_k$. Это компоненты вектора $\mathbf y$.
Введем единичный вектор $\mathbf a=\frac 1 {\sqrt n}(1,...,1)$.
Тогда показатель экспоненты (без минуса) равен
$n(\mathbf y\cdot\mathbf a)^2+\frac 1{4t}(\mathbf y-\mathbf x)^2$
Делаем замену:
$\mathbf y=\mathbf a(u+c)+\mathbf z+\mathbf x$
Здесь
$u$ — переменная (координата в направлении вектора $\mathbf a$),
$c$ — некоторая константа
$\mathbf z$ — составляющая вектора $\mathbf y$ (точнее, $\mathbf y-\mathbf x$), перпендикулярная $\mathbf a$.
Подставьте замену в выражение для минус-показателя, упростите, пользуясь $\mathbf a\cdot \mathbf a=1$ и $\mathbf z\cdot \mathbf a=0$. Подберите константу $c$ так, чтобы коэффициент при $u$ обратился в нуль. Останутся слагаемые $u^2$, $\mathbf z^2$ (с постоянными коэффициентами) и константы. Элемент объема перепишите в виде $du\;dV_z$, где $dV_z$ — элемент объема $n-1$-мерного подпространства, ортогонального $\mathbf a$. Так интеграл разделится на два, которые взять гораздо легче.

[smog]

svv в сообщении #845765 писал(а):

smog

Вместо $\xi_k$ я буду писать $y_k$. Это компоненты вектора $\mathbf y$.
Введем единичный вектор $\mathbf a=\frac 1 {\sqrt n}(1,...,1)$.
Тогда показатель экспоненты (без минуса) равен
$n(\mathbf y\cdot\mathbf a)^2+\frac 1{4t}(\mathbf y-\mathbf x)^2$
Делаем замену:
$\mathbf y=\mathbf a(u+c)+\mathbf z+\mathbf x$
Здесь
$u$ — переменная (координата в направлении вектора $\mathbf a$),
$c$ — некоторая константа
$\mathbf z$ — составляющая вектора $\mathbf y$ (точнее, $\mathbf y-\mathbf x$), перпендикулярная $\mathbf a$.
Подставьте замену в выражение для минус-показателя, упростите, пользуясь $\mathbf a\cdot \mathbf a=1$ и $\mathbf z\cdot \mathbf a=0$. Подберите константу $c$ так, чтобы коэффициент при $u$ обратился в нуль. Останутся слагаемые $u^2$, $\mathbf z^2$ (с постоянными коэффициентами) и константы. Элемент объема перепишите в виде $du\;dV_z$, где $dV_z$ — элемент объема $n-1$-мерного подпространства, ортогонального $\mathbf a$. Так интеграл разделится на два, которые взять гораздо легче.

попробую, спасибо!