Последовательность, с имеющимся корнем. Найти общую формулу

[MestnyBomzh]

Пусть для $n \in \mathbb{N}$ число $x_n$ - корень уравнения $x = \tg( x )$ из промежутка $(\pi n; \pi (n+1))$. Докажите, что $x_n=\pi n+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{\pi n}+O(\frac{1}{n^2})$.
Рассмотрим $y_n=x_n-\pi n-\frac{\pi}{2}$. Легко видеть, что $y_n<0$ и $y_n \to 0$. Откуда такое следствие? Ведь $x_n$- корень из промежутка $(\pi n; \pi (n+1))$, вычитая $\pi n$ (из $y_n=x_n-\pi n...$) получаем какое-то число в промежутке $(0;\pi)$; Вычитаем еще $\frac{\pi}{2}$ (опять же это из формулы для $y_n$) и почему обязательно к нулю это должно стремиться?

[Someone]

$\arctg x_n=x_n-\pi n$

[MestnyBomzh]

а, ну да, а арктангенс меньше $\frac{\pi}{2}$. А не могли бы вы объяснить, пожалуйста, еще следующий переход:
$y_n+\pi n+\frac{\pi}{2}=\tg(y_n+\pi n+\frac{\pi}{2})=-\ctg(y_n)=-\frac{1}{y_n}+O(y_n)$. Это же по эквивалентности: $\tg(x) \sim x$, при $x \to 0$; а тут котангенс, следовательно, наоборот?

[provincialka]

Вы уверены насчет О-большого? Эквивалентность $f(x)\sim x$ записывается в виде асимптотического равенства $f(x)=x+o(x)$. А у вас что внутри О?

[MestnyBomzh]

provincialka
Может, это не переход по эквивалентности, я собственно и обратился сюда, потому что не могу понять этот переход. А переход дословно такой: $y_n+\pi n+\frac{\pi}{2}=\tg(y_n+\pi n+\frac{\pi}{2})=-\ctg(y_n)=-\frac{1}{y_n}+O(y_n)$.

[Otta]

При $y\to 0$

$$\ctg y = (\tg y)^{-1}= \frac{1}{y+O(y^3)}=\frac{1}{y}\cdot \frac{1}{1+O(y^2)}=\frac{1}{y}(1+O(y^2))=\frac{1}{y}+O(y)$$

[MestnyBomzh]

Otta
Не могли бы вы объяснить этот переход $(\tg y)^{-1}= \frac{1}{y+O(y^3)}$ ? Как я понял, знаменатель получается из эквивалентностей, а почему О большое?

[provincialka]

По формуле Тейлора. $\tg x = x + \frac13 x^3 + ...$

[Someone]

$\frac{\pi}2-\arctg x_n=\arcctg x_n$

[MestnyBomzh]

Спасибо! Не могли бы вы объяснить последний переход: $\pi n+\frac{\pi}{2}=-\frac{1}{y_n}+O(y_n)$(это ясно). Далее: $y_n=-\frac{1}{\pi n+\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{\pi n+\frac{\pi}{2}}O({y_n}^2)$.Это тоже ясно - просто выразили игрек. Неясен следующий переход: $y_n=-\frac{1}{\pi n}+O(\frac{1}{n^2})$ . Я правильно понимаю, что мы можем пренебречь $\frac{\pi}{2}$, так как $n \to \infty$? Ну и, соответсвенно, заменить $y_n$ на $1/n^2$ по той же причине?

[Otta]

MestnyBomzh в сообщении #845690 писал(а):

$y_n=-\frac{1}{\pi n+\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{\pi n+\frac{\pi}{2}}O({y_n}^2)$

Выделите главную часть в первом слагаемом, все увидите сами. Да и везде уже пора разложить по Тейлору, что можно. Как раз $y_n=-\frac{1}{\pi n}+O(\frac{1}{n^2})$ и получится.

[Someone]

MestnyBomzh в сообщении #845690 писал(а):

Не могли бы вы объяснить последний переход:

Ну я же почти всё сделал! Осталось только подставить и вспомнить разложения в ряды Тейлора:

$$x_n=\pi n+\arctg x_n=\pi n+\frac{\pi}2-\arcctg x_n=$$

(пользуемся тем, что $x_n>0$)

$$=\pi n+\frac{\pi}2-\arctg\frac 1{x_n}=\pi n+\frac{\pi}2-\frac 1{x_n}+o\left(\frac 1{x_n^2}\right)=$$

(пользуемся тем, что $x_n=\pi n+\frac{\pi}2+o(1)$)

$$=\pi n+\frac{\pi}2-\frac 1{\pi n\left(1+\frac 1{2n}+o\left(\frac 1n\right)\right)}+o\left(\frac 1{n^2}\right)=$$

$$=\pi n+\frac{\pi}2-\frac 1{\pi n}\left(1+O\left(\frac 1n\right)\right)+o\left(\frac 1{n^2}\right)=\pi n+\frac{\pi}2-\frac 1{\pi n}+O\left(\frac 1{n^2}\right).$$

Да и Вы практически до конца довели.

[MestnyBomzh]

Someone
Спасибо большое за ответ! Задачу понял:)