Мат. модель эпидемии

[vlad_light]

(Оффтоп)

Сразу скажу, что ничего на эту тему не читал; да и не особо хочется, поскольку это сразу "раскроет все карты" и убьёт весь интерес к задаче. Да, я хочу изобрести велосипед Всем, кто поможет -- буду весьма благодарен!

Хочу составить модель распространения инфекции (подобно этой игре). Начну с неслучайной модели. Пусть $p$ - популяция, $h$ - здоровые, $i$ - инфицированные, $d$ - мертвые; $\mathbb N_0:=\mathbb N\cup \{0\}$, $\mathbb R^+:=[0, +\infty )$. Тогда моделью будет функция $p$, зависящая от времени:

$$ \begin{align*} p \colon &\mathbb R^+ \to \mathbb N_0^3 \\ &t \mapsto (h(t), i(t), d(t)) \end{align*} $$

Теперь я хочу наложить несколько естественных условий на $p$.
1) $p(0)=(N-1, 1, 0)$, где $N$ -- общее кол-во людей.
2) $\forall t\in\mathbb R^+\quad :\quad (h+i+d)(t)=N$, т.е. "железный занавес".
4) $\forall t_1, t_2\in \mathbb R^+,\quad t_1 \leq t_2 \quad:\quad d(t_1)\leq d(t_2)$, т.е. люди не "воскресают"
5) Пусть $t^*\in\mathbb R^+$. Тогда $i(t^*)=0\Rightarrow \forall t\geq t^*\quad :\quad p(t)\equiv \operatorname {const}$, т.е. когда больных $0$ -- некого лечить, некому заражаться.
5) Пока не придумал...
Также есть факторы, которые влияют на ход событий:
1) Заразность (зависит от $i$) -- переводит из $I$ в $H$
2) Лечение (зависит от $d$) -- переводит из $H$ в $I$
3) Летальность -- переводит из $I$ в $D$
Хотелось бы услышать: что изменить/убрать/добавить, после чего буду пробовать составлять диффур.

[ИСН]

Валяйте (я и сам люблю поизобретать велосипеды). Убрать надо лишних слов. Например, у функции, которая принимает только натуральные значения, никак не может быть ненулевой производной, а значит, и диффур - это не про неё. Вы пользуетесь детерминированной непрерывной моделью, так всем и говорите.

-- менее минуты назад --

Ключевые слова: Ферхюльст, Лотка-Вольтерра. Это интереса не убьёт, потому что сами задачи там другие, но принципы построения модели - те же.

[svv]

ИСН в сообщении #845234 писал(а):

я и сам люблю поизобретать велосипеды

И я.

[vlad_light]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #845234 писал(а):

я и сам люблю поизобретать велосипеды

svv в сообщении #845349 писал(а):

И я.

Оказывается, я -- не единственный поциент

ИСН в сообщении #845234 писал(а):

у функции, которая принимает только натуральные значения, никак не может быть ненулевой производной

Ой, действительно Будет детерминированная непрерывная модель.

ИСН в сообщении #845234 писал(а):

Ключевые слова: Ферхюльст, Лотка-Вольтерра

Спасибо, глянул, помогло, подробно не разбирал (непонятно только, почему частота встреч прямо пропорциональна произведению). Вот, что у меня получилось:
$c_h, c_i, c_d$ -- коэффициенты выздоровления, заразности и летальности соответственно.

$$ \begin{cases} {\operatorname {d\mathbf h}}/\operatorname {dt}=-c_i\mathbf h\mathbf i+c_h\mathbf i \\ {\operatorname {d\mathbf i}}/\operatorname {dt}=c_i\mathbf h\mathbf i - c_h \mathbf i - c_d\mathbf i\\ {\operatorname {d\mathbf d}}/\operatorname {dt}=c_d\mathbf i \end{cases} $$

Эта функция удовлетворяет всем моим условиям. Также, я понял, что все производные должны иметь вид

$$\operatorname {d\mathbf p}/\operatorname{dt}=\mathbf i\cdot(\dots )$$

Что пока скажете?

[ИСН]

Слагаемое (в другом месте вычитаемое) $(h+i)d$ означает, что частота выздоровления больных почему-то пропорциональна частоте встреч живых с мёртвыми? Неортодоксальный подход.

[vlad_light]

Хочу написать что-то типа: чем больше людей умирает -- тем больше обеспокоенность, следовательно больше внимания уделяют лечению (т.е. лечение прямо пропорционально смертности). С другой стороны, чем больше у нас людей -- тем больше среди них врачей (т.е. лечение прямо пропорционально кол-ву живых людей). Как такую идею реализовать?
Так?

[ИСН]

Мне эти предположения кажутся неестественными. Сделайте сначала по-простому. Пусть больные выздоравливают так же, как умирают - как бог упромыслит. Только константа другая.