2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение31.03.2014, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4075
Кролик в сообщении #843465 писал(а):
На мой взгляд, решающим является имнно тот факт, что вместо работы с произвольными случайными величинами $X_i$ можно перейти к работе с нормально распределёнными величинами $Y_i$. Именно этот момент кажется --ms-- таким немыслимым.

Да Вы можете сколько угодно считать, что эти величины (почти) нормально распределены, вот только прилюдно эту ересь не надо повторять, и, пожалуйста, ни к чему практическому Ваши дикие домыслы не применяйте, ладно? У нас и так техногенных катастроф хватает. Откройте указанные теоремки в Феллере и почитайте.

Нет, Коши тут ни при чём: чтобы ряд сходился (перенумерованный - почти наверное, исходный - по распределению), необходимо и достаточно существование момента $\mathsf E\ln(1+X_1)$. ТС же требует второго момента, что тоже вполне естественно. Да и контрпримеры выше уже приводились, вот только ТС их понять не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение31.03.2014, 21:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6767
Москва
Да, и из чего следует, что это супермартингал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение31.03.2014, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4075
Ещё пять копеек насчёт "становятся более нормальными". Если, например, брать иксы радемахеровскими $\mathsf P(X_i=\pm1)=1/2$, то распределение $Z_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{X_k}{2^{k-1}}$ сходится с ростом $n$ к равномерному распределению на отрезке $[-2,\,2]$. Оно, конечно, "более нормально", чем радемахеровское :facepalm:

-- Вт апр 01, 2014 02:25:14 --

Евгений Машеров в сообщении #843843 писал(а):
Да, и из чего следует, что это супермартингал?

При нулевом матожидании - да (и только), легко проверить: $\mathsf E(Y_n~|~\mathcal F_{n-1}) = \dfrac{q+q^2+\ldots+q^{n-1}}{1+q+q^2+\ldots+q^{n-1}}Y_{n-1}\leqslant Y_{n-1}$ п.н., т.е. супермартингал. Чем бы это помогло только :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение31.03.2014, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6767
Москва
Ну, может, ТС берёт $q\neq \frac 1 2$?
И надеется получить не равномерное распределение, а "горбик"?
Но в любом случае это НЧ-фильтр, грубый, но простой и надёжный, и вместо независимых иксов у нас на выходе скоррелированные игреки. Если нам нужен НЧ-фильтр, то "нормализация" в том смысле, что вместо импульсных помех, которые выбросы, у нас будет размазывание по времени, может, и бонус. Но если нас интересует именно нормализация, как самоцель - не слишком ли дорого платить за неё отказом от независимости наблюдений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение31.03.2014, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4075
Да автору и равномерное распределение сойдёт за нормальное, с такими-то мерками близости:
Кролик в сообщении #843638 писал(а):
Близость к нормальности имеется в следующем смысле: Для любого заданного $X_1$ и достаточно большого $n$ можно подобрать параметр $q$ так, что функция распределения $Y_n$ будет уклоняться от некоторой нормальной функции не больше чем на 0,05. Всё.

Так, наибольшее расстояние между функцией равномерного распределения на $[-2,\,2]$ и нормальной с параметрами $a=0$, $\sigma=1,2$ уже меньше, чем $0,049$.

А ещё все хорошо знают, что будет при $q =1/3$. А будет канторовская лестница.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение01.04.2014, 01:13 
Аватара пользователя


07/03/06
95
--mS-- в сообщении #843911 писал(а):
А ещё все хорошо знают, что будет при $q =1/3$. А будет канторовская лестница.

— Но $q$ надо брать поближе к единице, я же писал выше. Тогда и дисперсия $Y_n$ будет поменьше, и распределение по форме ближе к нормальному. Вообще, мне даже нравится рассматривать $X_i$, как ограниченные случайные величины; это исключает контрпримеры Машерова (распределения с несуществующей дисперсией). Спасибо за ваши примеры, но они меня пока не переубедили. (Часть из них содержит арифметические несуразицы, типа 0,049.)
Из литературы была посоветована пока только монография: Кендэл М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика, 1981 г. 191 с. Правильно я угадал? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение01.04.2014, 06:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4075
Вы много чего писали выше, но ничего не читали.
Кролик в сообщении #843955 писал(а):
Спасибо за ваши примеры, но они меня пока не переубедили. (Часть из них содержит арифметические несуразицы, типа 0,049.)

Вы что - даже в этом сами убедиться не в состоянии? http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+abs%28%28x%2B2%29%2F4-1%2F2+erfc%28-x%2F%281.2*sqrt%282%29%29%29%29+for+x%3D-2+to+2

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение01.04.2014, 08:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6767
Москва
Кролик в сообщении #843955 писал(а):
--mS-- в сообщении #843911 писал(а):
А ещё все хорошо знают, что будет при $q =1/3$. А будет канторовская лестница.

— Но $q$ надо брать поближе к единице, я же писал выше. Тогда и дисперсия $Y_n$ будет поменьше, и распределение по форме ближе к нормальному. Вообще, мне даже нравится рассматривать $X_i$, как ограниченные случайные величины; это исключает контрпримеры Машерова (распределения с несуществующей дисперсией). Спасибо за ваши примеры, но они меня пока не переубедили. (Часть из них содержит арифметические несуразицы, типа 0,049.)
Из литературы была посоветована пока только монография: Кендэл М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика, 1981 г. 191 с. Правильно я угадал? :-)


Рассматривать нормально распределённые случайные величины, как ограниченные, имеет право только товарищ полковник, и только в военное время (см. "Пособие по применению правил стрельбы и управления огнём наземной артиллерии"). Потому, что товарищ полковник знает, что снаряд, лёгший в стороне от цели, это скорее всего криворукость наводчиков, а не свойство распределения, и взгревает командира батареи, не слушая его оправданий, что распределение отклонений нормальное, и теоретически может быть больше 4 Вд.
Вообще же нормальное - оно от плюс до минус бесконечности. И заменять его усечённым нормальным отнюдь не всегда допустимо. Можно нарваться, наподобие тех финансистов, которые опционы продавали перед экспирацией, по 1/16 доллара, поскольку нормальная аппроксимация даёт вероятность больших движений в их случает порядка $10^{-5}$. А потом вдруг цена дёрнулась, и им пришлось за каждый возвращать по $20. В результате 3000 спекулянтских фирм разорились полностью, а, скажем, Голдман Сакс отделался тремя миллиардами убытка. Это я к тому, что распределения с бесконечной дисперсией, да и хотя бы с бесконечными высшими моментами, объект теоретический, но иногда очень хорошо описывающий объекты реальности, где бесконечности в выборке данных не встречаются, но просто очень большие изменения бывают.
Предложенное преобразование достаточно хорошо известно, но именно в качестве НЧ-фильтра в технике (и некоторых иных приложениях обработки сигналов). Плохого в смысле крутизны характеристики, но чрезвычайно простого, устойчивого и быстрого. Специальных монографий по нему я не встречал, тема достаточно частная, ищите либо в пособиях по ЦОС, либо по экономическому прогнозированию (по названию "экспоненциальное сглаживание" или "БИХ-фильтр первого порядка"). В качестве нормализующего его не использует никто. Хотя некий "нормализующий эффект" оно даёт, в смысле нормированные семиинварианты высших порядков получаются ближе к нулю, чем у исходной величины. Скажем, при q=0.9 третий нормированный семиинвариант (асимметрия) составит 0.306 от такового для иксов, а четвёртый (эксцесс) - 0.105. Но платится за это потерей независимости наблюдений. Что для НЧ-фильтра нормально, в пропускаемым им низкочастотных колебаниях соседние отсчёты близки друг к другу, это и ожидалось. Однако в качестве самостоятельного нормализующего преобразования такое малополезно. Мы ожидаем либо независимости отсчётов (для, скажем, статистических тестов), либо обнаружения интересующей нас зависимости (в регрессионном анализе, к примеру). А данный подход подсовывает нам артефактную зависимость, которая либо обесценит нам тесты, либо затенит реальную и важную для нас зависимость данных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение01.04.2014, 10:38 
Аватара пользователя


07/03/06
95
Евгений Машеров в сообщении #843999 писал(а):
Скажем, при q=0.9 третий нормированный семиинвариант (асимметрия) составит 0.306 от такового для иксов, а четвёртый (эксцесс) - 0.105. Но платится за это потерей независимости наблюдений.

— Спасибо за эксцессы. :-) Надеюсь, семиинварианты величины $Y_n$ более высоких порядков, чем второй, стремяться к нулю асимптотически быстрее, чем $\sqrt{1-q}$? Получается там оценка $\sim\!\!(1-q)^{(s-1)/2}$, где $s$ — порядок семиинварианта?

Открою карты друзьям. Моя цель, посчитать распределение следующей случайной величины (для достаточно больших $n_0$):
$$
\Phi_n=\sum_{l=n_0}^n \max\left\{0,\, Y_l - {\sf M}\left[X_1\right]\right\}\, ,
$$зная только исходную дисперсию ${\sf D}[X_1]$, но не зная точного закона распределения $X_1$. Выполнима ли такая задача при $q$, достаточно близких к единице?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение01.04.2014, 13:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6767
Москва
Полагаю, нет. При любых q. Надо что-то ещё знать о законе распределения. Впрочем, тут более компетентные, чем я, участники, они уточнят (и даже кое-то на эту тему сообщали...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение01.04.2014, 14:17 
Аватара пользователя


07/03/06
95
Евгений Машеров в сообщении #844089 писал(а):
Полагаю, нет. При любых q. Надо что-то ещё знать о законе распределения.

— Знаем только ${\sf M}[X_1]$ и ${\sf D}[X_1]$ (и что случайные значения ограничены сверху и снизу). Нельзя сказать, что совсем ничего не знаем.

Евгений Машеров в сообщении #844089 писал(а):
Впрочем, тут более компетентные, чем я, участники, они уточнят (и даже кое-то на эту тему сообщали...)

— Честно и долго искал в поисковике форума, но без подсказки хотя бы пары ключевых слов я ничего подходящего не нашёл. А для более компетентного --mS-- (любителя предельной состоятельности) я посчитал (на этот раз правильную) асимптотику нормированных предельных семиинвариантов нашего исходного примера:
$$
\kappa^{\infty}_s=\frac{2^{s/2}\kappa_s[X_1]}{s\,{\sf D}^{s/2}[X_1]}(1-q)^{s/2-1}+o\left((1-q)^{s/2-1}\right)\, ,\quad s=2,3,4,... .
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение02.04.2014, 08:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6767
Москва
Либо Вы допускаете бесконечности, и тогда у Вас вполне появляются бесконечные семиинварианты $X_i$, либо Вы работаете только с конечными значениями, собранными в конечного объёма выборки, тогда у Вас семиинварианты конечны, но могут быть велики, а Ваша процедура в ноль коэффициент при них не обращает при любых конечных n.
Вообще же, если Вам нужны условия сходимости к нормальному, Вам следует обратиться к специалисту, прежде всего к --mS--, которая, в отличие от меня, прикладника, иногда применяющего вероятно-статистические методы (и не всегда неудачно), работает именно в области теории вероятности.
Я же, с высоты своего прикладного сапога, сужу о том, что такой подход давно известен и с пользой применим, но совершенно для иных задач, чем "нормализация распределений". Оно конечно, можно и точить отвёрткой взамен стамески, и стамеской винты вкручивать, только закончится это занозами и сорванными шлицами винтов. Посмотреть, как изменится распределение величины после экспоненциального сглаживания, можно и даже полезно, но экспоненциально сглаживать ради "нормализации" - бесперспективно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение03.04.2014, 19:59 
Аватара пользователя


07/03/06
95
Евгений Машеров в сообщении #844432 писал(а):
Либо Вы допускаете бесконечности, и тогда у Вас вполне появляются бесконечные семиинварианты $X_i$, либо Вы работаете только с конечными значениями, собранными в конечного объёма выборки, тогда у Вас семиинварианты конечны, но могут быть велики, а Ваша процедура в ноль коэффициент при них не обращает при любых конечных n.
— Вот уж не ожидал, что $n$- и $q$-асимптотика экспоненциального сглаживания $Y_n(q)$ вызовет такой детальный интерес на форуме. (По $n$ там будет монотонное и быстрое уменьшение семиинвариантов, но делать и публиковать тут полные выкладки я не намерен.)

Евгений Машеров в сообщении #844432 писал(а):
Вообще же, если Вам нужны условия сходимости к нормальному, Вам следует обратиться к специалисту, прежде всего к --mS--, которая, в отличие от меня, прикладника, иногда применяющего вероятно-статистические методы (и не всегда неудачно), работает именно в области теории вероятности.
— К --mS-- я уже пытался обращаться (даже не зная, что он женщина), но любви с первого взгляда у нас пока не получилось, т.к. кроме теории вероятностей в математике есть ещё много других важных разделов, типа логики (или что-то в этом роде).

(Оффтоп)

Кроме того, есть у нас и принципиальные расхождения по статистике. Уважаемая --mS-- неприемлет несостоятельных оценок параметров случайных распределений, даже если эти оценки на практике оказываются очень близки к тому, что достаточно клиенту. Если бы я был Ротшильд, то, возможно, смог бы оплатить её высококвалифицированную работу, не глядя. Но, к счастью, я не Ротшильд.

Евгений Машеров в сообщении #844432 писал(а):
Посмотреть, как изменится распределение величины после экспоненциального сглаживания, можно и даже полезно, но экспоненциально сглаживать ради "нормализации" - бесперспективно.
— Разумеется, нормализация не сама цель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение03.04.2014, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4075

(Оффтоп)

Кролик в сообщении #845027 писал(а):
Если бы я был Ротшильд, то, возможно, смог бы оплатить её высококвалифицированную работу, не глядя. Но, к счастью, я не Ротшильд.

Мало иметь возможность купить. Нужно ещё, чтобы кто-то хотел продать. Хорошо, что Вы не Ротшильд, а то пришлось бы долго недоумевать, отчего желающих не находится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность усреднений случайной последовательности
Сообщение04.04.2014, 08:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6767
Москва

(Оффтоп)

Приходит пациент к психиатру:
- Доктор, со мной почему-то не разговаривают, отворачиваются, не здороваются, никто не соглашается со мной сотрудничать. Может, хоть ты мне поможешь, сволочь лысая?!


-- 04 апр 2014, 09:47 --

Это я к тому, что как-то странно обращаться за помощью, а потом обижаться, что помощь состояла в указании на Ваши ошибки, тем более хамить помогавшим.
Вопрос же о распределении величины после линейных и нелинейных преобразований рассмотрен, в частности, в курсах статистической радиотехники и родственных. Вот, скажем
Цитата:
Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований
М.: Советское радио, 1978. - 376 с.

Есть, например, здесь
http://www.twirpx.com/file/135321/

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group