Принцип интегрирования и возможная ошибка

[radmos]

Добрый день,

давно хотел спросить математиков о принципе интегрирования. Насколько я понял, этот принцип заключается в том, что интервал независимой переменной дробится на все более мелкие части и значение (приращение) функции для каждой этой части все ближе подходит к искомому значению. И значения эти складываются. Таким образом возникает интегральная сумма.

Но ошибка функции для одной части уменьшается с уменьшением длины этой части, но количество-то частей растет. Чем доказывается, что суммарная ошибка все-таки уменьшается, а не, например, увеличивается?

[mihailm]

radmos в сообщении #843321 писал(а):

...Чем доказывается...

Да так... эпсилонами там, дельтами, так и доказывается

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[provincialka]

Например, с помощью теоремы Кантора о равномерной непрерывности. Это если для непрерывных функций.

[radmos]

provincialka в сообщении #843344 писал(а):

Например, с помощью теоремы Кантора о равномерной непрерывности. Это если для непрерывных функций.

Спасибо, посмотрю, что за теорема. Ну сам принцип-то интегрирования я правильно изложил(понял)?

[provincialka]

radmos в сообщении #843349 писал(а):

Ну сам принцип-то интегрирования я правильно изложил(понял)?

Нет, достаточно коряво.

radmos в сообщении #843321 писал(а):

значение (приращение) функции для каждой этой части все ближе подходит к искомому значению.

Слишком часто употребляется слово "значение", непонятно, в каких смыслах, да еще почему-то приравнивается к "приращению".

[Алексей К.]

radmos в сообщении #843321 писал(а):

Но ошибка функции для одной части уменьшается с уменьшением длины этой части, но количество-то частей растет. Чем доказывается, что суммарная ошибка все-таки уменьшается, а не, например, увеличивается?

Нарисуйте для начала "лесенку", для крупного разбиения и для мелкого. Эффект сразу понятен будет. Читая формальные доказательства, хорошо держать в голове эту картинку.

\begin{picture}(110,100) \qbezier(0,0)(0,100)(100,100)\qbezier(-10,0),(50,0),(110,0) \color{blue} \thicklines \qbezier(20,0)(20,20)(20,70)\qbezier(20,70)(35,70)(50,70) \qbezier(50,0)(50,50)(50,92)\qbezier(50,92)(65,92)(80,92) \qbezier(80,0)(80,50)(80,98) \color{green} \thinlines \qbezier(20,0)(20,20)(20,70)\qbezier(20,70)(25,70)(30,70) \qbezier(30,70)(30,74)(30,78)\qbezier(30,78)(35,78)(40,78) \qbezier(40,78)(40,81)(40,85)\qbezier(40,85)(45,85)(50,85) \end{picture}

[radmos]

Видно, что при увеличении количества интервалов лесенка все ближе подходит к кругу. Значит, суммарная ошибка уменьшается?
Вы про это?

[Алексей К.]

Да.
Вы ведь про это и спрашивали?
Но это не доказательство, лишь иллюстрация к обсуждаемому явлению и строгому доказательству.

[radmos]

Я понял, это наглядное свидетельство уменьшения ошибки. А доказательство, конечно, как и все в математике это через разные математические символы строгое изложение) спасибо. Кстати есть ещё вопрос по другому поводу: по поводу силы трения. Но это, наверное, уже в раздел Механика? Или математики тоже просветят? Что-то я запутался