Система диффур 2го порядка

[r0ma]

Здравствуйте. Надо решить систему уравнений следующего вида:

$$\left\{ \begin{array}{l l} \dfrac{\partial^2}{\partial z^2}f_1+k_1^2f_1 -\eta^2_{12}f_2& = 0 \\ \\ \dfrac{\partial^2}{\partial z^2}f_2+k_2^2f_1 -\eta^2_{21}f_1& = 0 \\ \end{array} \right.$$

Здесь $k_1,\ k_2,\ \eta_{12},\ \eta_{21}$ независящие от $z$ константы. Можете подтолкнуть в решении? Я вообще пытался искать решение в виде:

$$ f_1 = c_1f_{11}\cos k_1z+c_2n_{21}\cos k_2z\\ f_2 = c_1f_{12}\cos k_1z+c_2n_{22}\cos k_2z, $$

но почему-то не уверен. Я вообще правильно делал?

[olenellus]

1) Правильно ли Вы записали уравнение (второе уравнение выглядит как-то подозрительно)?
2) В случае общего положения фундаментальная ситема решений четырёхмерна (система из двух линейных уравнений второго порядка), а Вы подходите к проблеме, предполагая, что она лишь двумерна.

[exitone]

подставить $f_1$ из второго в первое?

[r0ma]

olenellus, действительно, невнимателен. Система такая:

$$\left\{ \begin{array}{l l} \dfrac{\partial^2}{\partial z^2}f_1+k_1^2f_1 -\eta^2_{12}f_2& = 0 \\ \\ \dfrac{\partial^2}{\partial z^2}f_2+k_2^2f_2 -\eta^2_{21}f_1& = 0 \\ \end{array} \right.$$

В каком тогда виде надо искать решение?

ЗЫ: о-ёй! Я вообще везде накосячил. В решении опечатался, почему-то вместо $f$ написал $n$. Я решал подстановкой:

$$ f_1 = c_1f_{11}\cos k_1z+c_2f_{21}\cos k_2z\\ f_2 = c_1f_{12}\cos k_1z+c_2f_{22}\cos k_2z, $$

Это верно?

-- Вс мар 30, 2014 19:51:06 --

exitone, исправил опечатки.

[exitone]

подставить $f_1$ из второго в первое

[olenellus]

Ещё раз повторяю, в случае общего положения общее решение должно выражаться через четыре линейно независимых функции. В Вашей подстановке их только две.

r0ma в сообщении #843235 писал(а):

Я решал подстановкой:

$$ f_1 = c_1f_{11}\cos k_1z+c_2f_{21}\cos k_2z\\ f_2 = c_1f_{12}\cos k_1z+c_2f_{22}\cos k_2z, $$

Это верно?

Почему Вы решили именно так?

Вообще, первым делом надо бы решить характеристическое уравнение для этой системы, чтобы знать, с какими коэффициентами подбирать функции.

exitone в сообщении #843239 писал(а):

подставить $f_1$ из второго в первое

Так тоже можно прийти к характеристическому уравнению, если в полученное выражение подставить экспоненту с неизвестным коэффициентом, но в особых случаях может не срастись.