Универсальное неравенство

[Скорцонер]

На форуме периодически всплывают неравенства, в которые входят симметрические функции
$T_1 = x+y+z, T_2 = xy+xz + yz, и T_3 = xyz. $
Если принять для определенности $T_1=3$, то для них существует много различных неравенств и оценок, уточняющих друг друга, типа $T_2 \geqslant 3T_3, T_2^2 \geqslant 9T_3$, неравенства Шура с разными степенями множителя $r$ и т.д.
Выяснилось, однако, что существует одно универсальное неравенство для величин $T_i$, не допускающее дальнейшего уточнения. При этом все прочие неравенства вышеуказанного вида из него следуют в качестве приближений. Предлагаю желающим доказать его, что, в принципе, несложно.

Введем переменные:

$$P= 1/2T_3 -1/2T_2+1, Q=1-1/3T_2 $$

Само неравенство:
$P^2 \leqslant Q^3$

[Sasha Rybak]

Наверно, это условие неотрицательности дискриминанта многочлена $x^3-T_1 x^2+T_2 x-T_3$, равносильное тому, что x, y, z - действительны.

[Скорцонер]

Конечно, так и есть. Вы, Саша, даже никому подумать не дали. Так тоже нечестно.

[Скорцонер]

Попробую продемонстрировать пользу, которую можно извлечь из этого неравенства (если не ошибусь).
Рассмотрим, к примеру, задачу, которую Аркадий задал нам всем решать на летние каникулы. (Пока сидим с незачетом). Доказать неравенство:

$$\frac{a} {b^2+5} + \frac{b}{c^2+5} }+ \frac{c}{a^2+5} \geqslant \frac{1}{2}$$

где $a+b+c=3, a,b,c \geqslant 0$.
После приведения к общему знаменателю:

$$ 2[a(c^2+5)(a^2+5)+b(b^2+5)(a^2+5)+c(c^2+5)(a^2+5)]-(c^2+5) (a^2+5)(b^2+5)\geqslant 0$$

Перепишем последнее для краткости в виде:
1). $2R(a,b,c)-S(a,b,c) \geqslant 0$,
где $2R(a,b,c)$ – симметричная часть числителя, а $ S(a,b,c)$ – кососимметричная.
Если выразить многочлены $R $ и $S$ через симметрические полиномы, с учетом $T_1=3 $, получим:
2). $R(a,b,c) = (70+27T_3-T_3^2 -25T_2 - T_2T_3 - 2T_2^2)$.
Кососимметричная часть запишется как:
3). $S(a,b,c) = 2(a-b)(b-c)(c-a)(5-T_2)$
При перестановке переменных $S(a,b,c)$ меняет знак, поэтому, без ущерба для неравенства $S(a,b,c)$ можно переписать в симметризованном виде:
4). $S^*(a,b,c) = 2(5-T_2) \sqrt{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2} = 2(5-T_2) \sqrt{D} = 2 w\sqrt{D}$,
где корень берем арифметический, $D = (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 $– дискриминант уравнения $z^3 -T_1 z^2 +T_2 z-T_3$, и $w = (5-T_2)$ – положительный множитель.
$D $известным способом также выражается через $T_i$:
5). $D(T_i) = 9T_2^2-4T_2^3+54T_2T_3-27T_3^2-108T_3 $
Неравенство 1) можно тогда переписать в виде:
6). $U(T_i) \equiv R^2 - w^2D \geqslant 0$
Это условие определяет множество$ \{U|U(T_i) \geqslant 0\}$, которое 6) отображает в положительную полуось. Границей его является кривая
$ U(T_i) = 0$.
Условие $D(T_i) \geqslant 0$ определяет дискриминантное множество $G$ всех возможных значений переменных в плоскости$ (T_i)$, или $(p,q)$, если перейти к переменным $ (p,q)$:
7). $q^3 -p^2 \geqslant 0$.
где $p= 1/2T_3-1/2T_2+1, q=1-1/3T_2 $
Условие неотрицательности переменных добавляет условие $T_i \geqslant 0$.
Таким образом, множество$ \{G| D(p,q)\geqslant0\} $ в начале координат имеет вид «клюва», образованного ветвями кривой 7), и заключено в выпуклой оболочке – треугольнике, ограниченном образами прямых $ T_3=0, T_2 = 3T_3 $
и $4T_2 = 3 T_3 + 9$ (граница неравенства Шура).
Чтобы исходное неравенство было справедливо, необходимо, чтобы выполнялось включение:
8).$ G \subset U$.
Если неравенство выполняется хотя бы в одной внутренней точке, то достаточным условием выполнения 8) будет отсутствие двух общих корней уравнений системы
$\{ D(p,q) = 0, U(p,q) = 0\}$. Наличие одного корня означает касание границ множеств. В сложных случаях может потребоваться построение резольвенты.
В нашем же случае общие корни уравнений 6) $U(T_i) = R^2 - w^2D = 0 $
и $D = 0$ совпадают с общими корнями уравнений $R = 0 $ и $ D = 0$. Множество $R(p,q) = 0$ имеет вид
9). $44p-4p^2 +48q+18pq-36q^2 = 0$.
Выясняется, что это есть сильно вытянутый эллипс, проходящий через начало координат, внутри которого дискриминантное множество G вместе со своей выпуклой оболочкой лежит целиком, касаясь эллипса только своим «клювом» в точке$ (0,0)$ "цыпленок, проклевывающий яйцо изнутри".
Что и требовалось доказать.

[maxal]

Вот тут Рустем поднимал тему соотношений между симметрическими функциями:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=3483

[Руст]

Там я поднял достаточно широкий круг вопросов. При этом для каждой степени k можно определить все симметричные многочлены степени k, такие что $T_{i,k}=T_{i,k}(\sigma_1,...,\sigma_n)\ge 0, deg(T_{i,k})=k, deg(\sigma_i )=i.$
Интересен вопрос о существовании конечного базиса положительных многочленов T_i, что все остальные соотношения получаются в виде многочленов от таких T_i с положительными коэффициентами. В частности, для рассматриваемого здесь случая (n=3) многочленов от трёх переменных являются многочлены $,\sigma_1,\sigma_2,3\sigma_1^2-\sigma_2,\sigma_3,\sigma_2^2-3\sigma_3, T_6=\sigma_1^2\sigma_2^2+18\sigma_1\sigma_2\sigma_3-27\sigma_3^2-4\sigma_1^3\sigma_3-4\sigma_2^3.$ таким базисом. Это бы означало, что если симметричное неравенство в виде многочлена не выражается через них в виде многочлена с неотрицательными коэффициентами, то оно не выполняется при некоторых неотрицательных значениях переменных.

[Скорцонер]

По-моему вопрос, который Вы поставили, очень непрост. В общем случае полином исходного неравенства может иметь очень сложную природу областей положительности, которые, насколько мне известно, до сих пор толком не классифицированы. Затем нужно исследовать пересечения этих областей с областью положительности дискриминантных ограничений. Эти ограничения в общем случае (условие вещественности и положительности всех корней полинома) по теореме Сильвестра даются, как известно, условием положительной определенности матрицы, составленной из симметрических сумм степеней переменных. Думаю, что для всего этого нужны серьезные познания в алгебраической геометрии и коммутативной алгебре полиномов (я ими, к сожалению, не располагаю).
Что касается случая n=3, мне кажется, что Ваш перечень базисных симметрических функций несколько произволен. Тут есть линейные ограничения на выпуклую оболочку дискриминантного множества, но почему-то только с двух сторон. Если взять (без потери общности), $\sigma_1 = 3$, то независимыми (необходимыми и достаточными) ограничениями здесь являются только $\sigma_3\geqslant 0$ и $T_6 \geqslant 0$ (дискриминант), остальные, на мой взгляд, излишни.

[Руст]

Скорцонер писал(а):

По-моему вопрос, который Вы поставили, очень непрост.
Что касается случая n=3, мне кажется, что Ваш перечень базисных симметрических функций несколько произволен. Тут есть линейные ограничения на выпуклую оболочку дискриминантного множества, но почему-то только с двух сторон. Если взять (без потери общности), $\sigma_1 = 3$, то независимыми (необходимыми и достаточными) ограничениями здесь являются только $\sigma_3\geqslant 0$ и $T_6 \geqslant 0$ (дискриминант), остальные, на мой взгляд, излишни.

Мне кажется несложно доказать, что все однородные многочлены из базиса получаются симметризацией некоторого одночлена от переменных $x_i,y_{i,j}=(x_i-x_j)^2, i<j,deg(x_i)=1,deg(y_{i,j})=2$ (есть соображения на этот счёт). В частности дискриминант ecть $\prod_{i<j}y_{i,j}$.совпадает со своей симметризацией.

[Скорцонер]

Даже в одномерном случае задача определить попадает ли заданный отрезок оси $x $в область, которую данный многочлен отображает в положительную полуось $y$, алгоритмически нетривиальна и требует точного знания локализации корней многочлена. В многомерном случае (если в качестве рабочих переменных берутся значения симметрических сумм $\sigma_j$ исходных переменных $x_i $) определить попадает ли дискриминантное множество допустимых значений $\sigma_j$ в область положительности многочлена, задающего неравенство, неизмеримо сложнее.

[Скорцонер]

Все же идея Руста наладить "промышленное" решение симметричных неравенств интересна. Попытаюсь сделать небольшие шаги в этом направлении применительно к неравенствам вида $F(T_2,T_3) \geqslant 0$.
Как показано выше, граница дискриминантного (допустимого) множества задается кривой
1). $q^3 - p^2 = 0$ и прямой
2). $3q - 2p =1$, (или $T_3=0$) где
3).

$$p = 1/2T_3 -1/2T_2+1, q =1-1/3T_2$$

.
Границу можно параметризовать, положив $p = tq$. Кривая 1) примет вид
4).

$$q = t^2, p = t^3$, где $t \in [-1/2,1] $. Прямая 2) примет вид $q = 1/(3-2t), p = t/(3-2t) $$

.
Можно выразить переменные $T_i$ через параметр, а именно:
5). $T_2 = 3-3t^2, T_3 = 2t^3-3t^2+1$ .
Если задающая неравенство функция $F(T_2,T_3) $ достаточно проста, например, имеет один экстремум, как в первом примере, то, как выше сказано, достаточно проверить отсутствие двух точек пересечения границы дискриминантного множества 1) и линии $F=0$. Для выяснения этого нужно подставить параметрическое выражение границы 5) в $F(T_2,T_3) $. Остается исследовать на наличие корней получившийся полином всего лишь от одной переменной $t$. В первом примере этой темы $F=0$–уравнение эллипса, и полином от $t$ имеет вид
6). $t^2(t^4+18t^3-36t^2+44t+48) = 0$.
Не представляет труда установить, что на рассматриваемом интервале $t \in [-1/2,1] $ корней $F(T_2,T_3) $ на кривой 1) кроме нуля не имеется, как не имеется их и на прямой $T_3 = 0$.

[Скорцонер]

В заключение попробую показать, как работает прием в более сложном случае.
Рассмотрим неравенство, которое Arcady 20.09 предложил на форуме ArtofProblemSolvingForum5.htm в качестве проблемного.

9).

$$\frac {a}{b^3+c^3}+\frac {b}{a^3+c^3}+\frac {c}{b^3+a^3}\geqslant \frac {18}{5(a^2+b^2+c^2)-(ab+ac+bc)}$$

.
Ставится цель – свести решение неравенства к вопросу исследования многочленов от одного переменного.
Приводя к общему знаменателю и выражая числитель через симметрические функции, приведем 9) к виду:
10). $ 98415+25515 T_3 -108 T_3^2-144 T_3^3-100602 T_2-11583 T_3 T_2+642 T_3^2 T_2 +35721 T_2^2 +1233 T_3 T_2^2-5454 T_2 ^3-131 T_3 T_2^3+360 T_2^4 \geqslant 0 $.
Здесь, учитывая однородность неравенства, мы положили $T_1=3$.
Сделаем в 10) подстановку по типу 5), параметрически выражающую границу и внутренность допустимого (дискриминантного) множества.
11). $T_3=-2t^3-3t^2+1, T_2=3-3t^2-s$.
Здесь для удобства сделана замена $t$ на $-t$ и в выражение для $T_2$ введена переменная $s$, которая заметает внутренность дискриминантного множества. При этом точки границы соответствуют значению $s=0$. Нетрудно убедиться, (если учесть, что $T_2\leqslant 3 $), что точки дискриминантного множества полностью накрываются отображением 11) при изменении параметров в прямоугольнике:
$s \in [0,3], t \in[0,1/2] $, т.е. по параметру $t$ достаточно пройти только одну ветвь границы, которая аппроксимируется неравенством 9).
После подстановки получаем неравенство с многочленом четвертого порядка по переменной $s$.
12). $ 360s^4+(1265+3927t^2-262t^3)s^3 + (6129+11223t^2-108t^3+15903t^4-2358t^5)s^2 +(1734+17460t^2-12876t^3+27405t^4-8352t^5+25701t^6-7074t^7)s+ 9 t^2 (2t-1) (t-2) (1-t+7t^2)(34-51t+3t^2-47t^3) \geqslant 0 $

Если построить графики полиномиальных коэффициентов при степенях $s$, то видно, что все они строго положительны при $ t \in[0,1/2] $, причем не опускаются ниже $+1000$. Конечно, это легко подтвердить при помощи элементарного анализа. В более сложных случаях всегда можно алгоритмически установить положительность коэффициентов (т.е. отсутствие корней на заданном интервале), используя известные из курса высшей алгебры методы, типа теорем Штурма или Лагерра.
Свободный член в 12) (выражающий значение неравенства на границе дискриминантного множества) как многочлен по $t$ неотрицателен и обращается в нуль только в крайних точках $t=0$ и $t=1/2$. Отсюда можно сделать вывод, что рассматриваемое неравенство справедливо на всем дискриминантном множестве, что и требовалось.
Можно отметить, что неравенство 10), как многочлен 9-го порядка по $(a,b,c)$ хорошо аппроксимирует короткую ветвь границы дискриминантного множества, хотя похуже (примерно, на два порядка), чем неравенство Шура той же степени.

[Скорцонер]

Выяснил, что алгоритмическая теория решения полиномиальных неравенств существует. Возможность решения в конечном виде обеспечивается теоремой Тарского-Зайденберга, обобщающей теорему Штурма о корнях. В доказательстве используется мат. логика и алг. геометрия. Она реализована, в частности, в функции CylindricalDecomposition программы Mathematica (кажется, это алгоритм Стржебонского). Некоторые задачки действительно, она решает неплохо, но для тех, которые чуть посложнее, время работы резко возрастает. Когда я опробовал её на неравенстве
$(xyz)^2+xy+yz+zx \geqslant 4/9 (xy+yz+zx)^2, x+y+z=3, x,y,z>0.$
то Mathematica за полчаса так и не справилась.
Предлагаю его вниманию желающих.

[arqady]

Скорцонер писал(а):

Когда я опробовал её на неравенстве
$(xyz)^2+xy+yz+zx \geqslant 4/9 (xy+yz+zx)^2, x+y+z=3, x,y,z>0.$
то Mathematica за полчаса так и не справилась.

Наверное потому, что оно неверно. Проверьте $x=1.2$ и $y=z=0.9.$

[Скорцонер]

Да, закралась ошибка. Правильно вот так:
$(xyz)^2+ 8xyz+9(xy+yz+zx) \geqslant 4 (xy+yz+zx)^2, x+y+z=3, x,y,z>0.$

[arqady]

Скорцонер писал(а):

Да, закралась ошибка. Правильно вот так:
$(xyz)^2+ 8xyz+9(xy+yz+zx) \geqslant 4 (xy+yz+zx)^2, x+y+z=3, x,y,z>0.$

Да, это верно. После гомогенизации получаем эквивалентное

$$\sum_{cyc}(3x^5+3xy^5+11x^4yz-6x^3y^3-6x^3y^2z-6x^3z^2y+x^2y^2z^2)\geq0,$$

которое очевидно верно вследствии неравенства Шура.