обтекание шара - парадокс Даламбера-Эйлера

[Ales]

Парадокс Даламбера-Эйлера возникает в следующей модели обтекания шара жидкостью:
1. несжимаемая жидкость
2. стационарное и потенциальное поле скоростей
3. на бесконечности давление и скорость стремятся к пределу
4. на поверхности шара поле скоростей направлено по касательной

Единственное решение, которое удовлетворяет модели
в подходящих координатах и единицах измерения
задается формулой: $\vec v = (1 + \frac {1}{2r^3} - \frac {3x^2}{2r^5}, - \frac {3xy}{2r^5}, - \frac {3xz}{2r^5})$ .

Решение показывает, что сила сопротивления жидкости равна нулю, а это противоречит реальному опыту.

Предлагаю такое объяснение парадокса:
модель, в которой выводится нулевое значение силы сопротивления, не годится для описания
реальных случаев движения в больших объемах жидкости.
Она плоха не из-за того, что нет вязкости, вихрей, разрывов,
а из-за того, что бесконечная среда некорректно аппроксимирует конечный, но очень большой объем.

Доказывается это следующим образом (в механике Галилея-Ньютона):

1. В любом конечном объеме жидкости, в котором движется некоторое тело,
импульс жидкости, которая вытесняется телом и движется в противоположном направлении,
конечен и равен $-\rho V \vec v $ - произведению плотности жидкости, объема тела и его скорости.
(Движением самого большого объема жидкости, которое зависит от массы движущегося шарика,
пренебрегаем без ограничения общности).

2. При переходе к модели с бесконечным пространством,
эта величина импульса для движущейся жидкости $- \rho V \vec v $ должна сохранится.

3.Но в той модели, из которой выводится парадокс Даламбера-Эйлера,
этот импульс посчитать невозможно, поскольку интеграл $\int \frac {1}{r^3} dxdydz$ расходится.

Таким образом, модель теоретически не является корректной аппроксимацией реальных случаев.
И из парадокса Даламбера-Эйлера не следует
необходимость наличия вязкости, вихрей, разрывов и т.п.
для объяснения существования силы сопротивления жидкости движущемуся в ней шару.

Предлагаю для определения силы сопротивления
изучать модель большого неподвижного шара невязкой и несжимаемой жидкости,
в котором, движется маленький шар с плотностью, равной плотности жидкости.
Поле скоростей будет потенциальное
(поскольку начинаем движение в покоящейся жидкости, а ротор переносится потоком).
На границе большого шара и маленького шаров скорость потока направлена по касательной.
В этом случае задача гораздо сложнее,
(хотя бы потому, что стационарное решение невозможно),
но зато можно будет получить разумный результат.

Тело двигаясь в жидкости и преодолевая силу сопротивления,
совершает работу и увеличивает энергию жидкости.
Нестационарность процесса - обязательное условие движения с сопротивлением.

[Oleg Zubelevich]

Ales в сообщении #843091 писал(а):

Предлагаю такое объяснение парадокса:

объяснение парадокса хорошо известно, читайте учебники

[Ales]

Oleg Zubelevich в сообщении #843094 писал(а):

объяснение парадокса хорошо известно, читайте учебники

В учебниках, возможно, не все так идеально, как хотелось бы.

Меня например, не устраивают те объяснения, которые я видел в учебниках,
поэтому пришлось придумать свое.
Не считаю, что вопрос расчета подъемной силы крыла и сопротивления потока закрыт.

[DimaM]

Ales в сообщении #843099 писал(а):

Меня например, не устраивают те объяснения, которые я видел в учебниках

Чем не устраивают?

[Ales]

DimaM в сообщении #843115 писал(а):

Чем не устраивают?

Не хотелось бы объяснять, чем они меня субъективно не устраивают.

Хотелось бы получить мнение участников форума об интеграле импульса.

[Утундрий]

Обычно рассматривают не сам импульс (он бесконечен), а его "дефект", т.е. "потерю".

[Ales]

Утундрий в сообщении #843143 писал(а):

Обычно рассматривают не сам импульс (он бесконечен), а его "дефект", т.е. "потерю".

Само-собой разумеется,
что импульс считаем в системе, в которой основная масса воды неподвижна,
то есть именно "дефект".

-- Вс мар 30, 2014 16:16:59 --

Кстати в той модели, что я предложил,
у движущегося маленького шара есть маленький, но мощный двигатель,
и интеграл давления воды будет направлен по ходу движения
(третий закон Ньютона и закон сохранения импульса).
А если тянуть шар за нитку,
то это уже другая задача, там интеграл давления воды будет направлен против хода.

[Oleg Zubelevich]

Ales в сообщении #843091 писал(а):

Решение показывает, что сила сопротивления жидкости равна нулю, а это противоречит реальному опыту.

Вот из уравнений движения вытекает, что иголку можно поставить на острие на гладком столе и она будет стоять. Это тоже противоречит опыту и что?

[Ales]

Oleg Zubelevich в сообщении #843160 писал(а):

Вот из уравнений движения вытекает, что иголку можно поставить на острие на гладком столе и она будет стоять. Это тоже противоречит опыту и что?

Как раз уравнения показывают, что иголка должна именно упасть.

[Oleg Zubelevich]

Ну вот , значит вы понимаете, что такое устойчивость движения. Это хорошо. Теперь подумайте с этоже точки зрения про парадокс Даламбера, точнее говоря, про решение уравнений движения, которому этот парадокс соответствует.

[Ales]

Oleg Zubelevich в сообщении #843173 писал(а):

Ну вот , значит вы понимаете, что такое устойчивость движения. Это хорошо. Теперь подумайте с этоже точки зрения про парадокс Даламбера, точнее говоря, про решение уравнений движения, которому этот парадокс соответствует.

То есть Вы можете доказать,
что стационарное безвихревое обтекание шара неустойчиво.
Для меня это совсем не очевидно,
скорее наоборот - устойчивость выглядит более правдоподобной.

Кроме того, вопрос устойчивости не отменяет вопрос о дефекте импульса.
В модели, в которой возникает парадокс Даламбера-Эйлера, дефект импульса не интегрируется,
хотя должен интегрироваться, если мы хотим смоделировать нечто реальное.

Отсюда вывод - сама классическая модель обтекания кривая,
и не удивительно, что из нее следуют парадоксы,
и что ее приходится докручивать, чтобы получить нечто разумное
(то есть подгонять под нужный результат).

-- Вс мар 30, 2014 17:35:01 --

Возможна такая модель для поиска силы сопротивления:
1. несжимаемая, невязкая жидкость
2. потенциальное и нестационарное поле скоростей
3. на поверхности неподвижного шара поле скоростей направлено по касательной
4. интеграл дефекта импульса постоянен
(для вычисления дефекта, ищем сначала среднюю скорость течения, как отношение интеграла скорости к объему)
5. постоянное изменение энергии потока в системе отсчета, связанной со средним течением
6. на бесконечности - что получится

[Утундрий]

Ales в сообщении #843180 писал(а):

стационарное безвихревое ...обтекание шара неустойчиво.
Для меня это совсем не очевидно,
скорее наоборот - устойчивость выглядит более правдоподобной.

Так проверьте. Добавьте возмущение и посмотрите как оно будет себя вести со временем.

[Ales]

Утундрий в сообщении #843198 писал(а):

Так проверьте. Добавьте возмущение и посмотрите как оно будет себя вести со временем.

Вопрос даже не в поведении возмущения, а в устойчивости интегральных показателей.

Но я не хотел бы осуждать вопрос устойчивости поведения решений классической модели,
вопрос стоит о ее теоретической адекватности.

[Утундрий]

Ales в сообщении #843202 писал(а):

опрос даже не в поведении возмущения, а в устойчивости интегральных показателей.

Вопрос именно в поведении возмущения. А кто такие "интегральные показатели" вообще неважно.

[Ales]

Утундрий в сообщении #843211 писал(а):

Вопрос именно в поведении возмущения. А кто такие "интегральные показатели" вообще неважно.

Небольшое возмущение потока приведет к небольшому изменению силы сопротивления потока,
иначе полеты на самолетах были бы невозможны.