вычисление интеграла через вычеты

[ecartman]

Здравствуйте! Требуется вычислить интеграл:

$$ I(s) = \imath \int_{-\infty}^\infty e^{-s x^2} \Gamma(-1/2-\imath x) f(\imath x)\,dx $$

где $s>0$, $\imath=\sqrt{-1}$, $\Gamma(z)$ - Гамма функиция, и $f(z)$ - аналитическая функция, такая что $\imath \Gamma(-1/2-\imath x) f(\imath x)$ - вещественно для всех $x\in\mathbb{R}$.

Если перейти в комплексную плоскость, то у подинтегральной функции будут особенности в точках-полюсах Гамма функции. Это будет тогда, когда $-1/2-\imath x=-n$, $n=0,1,2,\ldots$. Вопрос такой: как лучше выбрать контур интегрирования? Если, например, взять полукруг с радиусом $R$ лежащий в верхней полуплоскости и дополненный отрезком $[-R,R]$ на вещественной оси, то в этот контур попадет лишь одна особенность Гамма функции (когда $x=\imath /2$), но проблема в том, что вдоль мнимой оси $e^{-s x^2}$ будет расходиться. Можно ли как-нибудь это обойти?

Спасибо.

[Brukvalub]

Вряд ли кто-то сможет указать вам универсальный контур, не зависящий от вида функции $f(z)$.