Предел

[SpBTimes]

Вычислить предел

$$ \lim\limits_{n \to \infty} n^2 \left(\int\limits_0^1 (1 + x^n)^{\frac{1}{n}}dx - 1 \right) $$

[Руст]

Очевидно 1.

[SpBTimes]

Почему? В ответе $\frac{\pi^2}{12}$

[Руст]

Да, в разложении
$(1+x^n)^{1/n}=1+\frac 1n x^n+\frac 1n (\frac 1n -1)/2 x^{2n}+...$
следующие члены такого же порядка, а я брал только один член после 1.

Основной вклад около х=1. Необходимо более точное разложение вблизи х=1.
Сделаем замену $x=e^{-y/n}$. Тогда

$$n\int_0^{\infty}[(1+e^{-y})^{1/n}-1]dy=\int_0^{\infty}e^{-y/n}[e^{-y}+(\frac 1n -1)/2 e^{-2y}+(\frac1n -1)(\frac 1n -2)/3! e^{-3y)+...}dy=$$

$$1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+...=\zeta(2)-\frac 12\zeta (2)=\frac{\pi^2}{12}.$$

[ex-math]

Довольно легко решается разложением подынтегральной функции в степенной ряд и почленным интегрированием. Получаем

$$ \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}\left(1-\frac1n\right)\ldots\left(1-\frac1{(k-1)n}\right)\left(1+\frac1{kn}\right)^{-1}. $$

Произведение скобок отличается от $1$ на величину порядка $O(\frac1n \ln k)$, откуда следует требуемое. По-моему, проще и естественнее, чем у Руст.

[SpBTimes]

Я не очень понимаю, почему можно почленно переходить к пределу, тем самым избавляясь от этих лишних скобок.

-- Чт мар 27, 2014 23:26:42 --

А, все, понял, спасибо!

-- Чт мар 27, 2014 23:46:07 --

Я как раз не мог объяснить отбрасывание лишних скобок(