Якобиан преобразования

[Yarunya]

Подскажите, плиз, в чём ошибочность?

Допустим есть преобразование координат:

$u=f(x,y)$
$w=g(x,y)$

тогда $dudw=J*dxdy$ (1)
где J - модуль якобиана преобразования.
Это, вроде как, известно.

Но возникает вопрос,
правомерно ли расписать через свойства дифференциала следующим образом:

$du=f'_xdx + f'_ydy$
$dw=g'_xdx + g'_ydy$

Далее,
$dudw=(f'_xdx + f'_ydy)(g'_xdx + g'_ydy)\neq Jdxdy

Почему в результате я не прихожу к уравнению (1)?
В чём ошибочность действий?

Спасибо!

[provincialka]

Верно будет так: $du\wedge dw=(f'_xdx + f'_ydy)\wedge (g'_xdx + g'_ydy) = Jdx\wedge dy$, где $\wedge$ - знак внешнего (кососимметричного) умножения. Только здесь якобиан получится без модуля, знак соответствует сохранению или смене ориентации.

[Yarunya]

Учитывая, что внешнюю алгебру не проходил, то стало ещё менее понятно:-(.

Т.е. я правильно понимаю, что Ваша запись эквивалентна тому, что я поставлю синус угла между $du$ и $dw$ в произведении, а также для $dx$ и $dy$?

[provincialka]

Зачем синус? Какого угла? Между чем и чем?
Просто $dx\wedge dy=-dy\wedge dx$. Воспользуйтесь этим равенством при раскрытии скобок, и все получится.
Только сначала подумайте, чему равно $dx\wedge dx$.

[Yarunya]

Дело в том, что математически я понял сразу после Вашего первого ответа.
$dx$$\wedge$$dx=0$ и т.д.
Действительно получается якобиан.
Но почему используется именно внешнее произведение и каков его смысл здесь? Ведь формула (1) в первом сообщении без внешнего произведения записана.

[provincialka]

Yarunya в сообщении #841103 писал(а):

Ведь формула (1) в первом сообщении без внешнего произведения записана.

Ну, это просто соглашение. Обычно такую запись не используют вне интеграла, а внутри знак внешнего умножения подразумевается (вы ведь не видели интеграла по $dxdx$?) Просто в теме кратных интегралов такие тонкости ни к чему. А вот для "искривленных" интегралов второго рода это уже важно.
Например, если у вас есть задачник Демидовича последних изданий (с черной обложкой), почитайте предисловие. Там прямо сказано, что в задачнике не хватает формализма внешних форм. И действительно, интегралы второго рода представлены там весьма неудачно.

[svv]

Форма $du\wedge dw$ (которая фактически стоит под интегралом) — это не какое-то там жалкое произведеньице $du\,dw$. Она определяет нечто вроде площади. Она для каждой пары векторов $\mathbf a, \mathbf b$ даёт величину $du\wedge dw(\mathbf a, \mathbf b)$, обладающую многими свойствами площади — это ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf a, \mathbf b$. Точнее, его площадь по отношению к некоторому эталону. Координаты $u$ и $w$ в каждой точке определяют векторы координатного базиса $\mathbf e_u, \mathbf e_w$, так вот площадь параллелограмма, образованного этими векторами, считается единичной. Это можно записать так:
$du\wedge dw(\mathbf e_u, \mathbf e_w)=1$

Форма $dx\wedge dy$ тоже вводит эталон площади, но другой. Для неё единичной будет площадь параллелограмма на векторах $\mathbf e_x, \mathbf e_y$:
$dx\wedge dy(\mathbf e_x, \mathbf e_y)=1$

Имеются правила вычисления площадей. Они позволяют, зная, что данная форма равна единице на эталонной паре векторов, сказать, чему равна эта форма на любой паре векторов.

Равенство
$du\wedge dw = J dx\wedge dy$
означает, что для любой пары векторов
$du\wedge dw (\mathbf a, \mathbf b)= J dx\wedge dy(\mathbf a, \mathbf b)$,
т.е. площадь параллелограмма «с точки зрения» формы $du\wedge dw$ будет в $J$ раз больше, чем «с точки зрения» формы $dx\wedge dy$. Или такой же, как «с точки зрения» формы $J dx\wedge dy$.

А основное правило игры при замене переменных гласит: чтобы значение определенного интеграла в результате замены переменных не изменилось, надо, чтобы значение формы, стоящей под интегралом (т.е. подинтегральной функции вместе с дифференциалами) на любой паре векторов $\mathbf a, \mathbf b$ до и после замены было одним и тем же. Это и обеспечивает множитель $J$.

Требование можно сформулировать и иначе: если площадь параллелограмма из векторов $\mathbf e_x, \mathbf e_y$ больше площади параллелограмма из векторов $\mathbf e_u, \mathbf e_w$ в $J$ раз, этот коэффициент (зависящий от координат) и должен появиться при замене переменных. Исходя из формул
$\mathbf e_x=\frac{\partial u}{\partial x}\mathbf e_u+\frac{\partial w}{\partial x}\mathbf e_w$
$\mathbf e_y=\frac{\partial u}{\partial y}\mathbf e_u+\frac{\partial w}{\partial y}\mathbf e_w$
и правил вычисления площадей как раз получается $J=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}$.

[пианист]

Yarunya
Возможно, понять, почему так, поможет такое банальное соображение: коль скоро $dx\wedge dy$ у нас площадь, логично, чтобы $dx\wedge dx$ было бы равно нулю. Ну а отсюда уже очевидным образом получается антиперестановочность $dx\wedge dy = - dy\wedge dx$ и, как было выше показано, интересующая Вас формула.

[Yarunya]

пианист в сообщении #842096 писал(а):

Yarunya
...коль скоро $dx\wedge dy$ у нас площадь, логично, чтобы $dx\wedge dx$ было бы равно нулю...

Признаться, не вижу здесь логичности.
Проблема как раз в том, что математически посчитать смогу, а вот идейного смысла не понимаю, поняв который, точно был бы уверен, что даже через 10 лет вспомнил, что и как.

-- 28.03.2014, 17:14 --

Уважаемый, svv!
Спасибо за развёрнутый ответ.
К сожалению, непонятен такой аспект, почему именно внешнее произведение?
Его идею не пойму. Почему не модуль от векторного произведения, рассматривая дифференциалы $dx$ и $dy$ и т.д., как векторы? Тогда понятней было бы, так как векторное произведение - это площадь параллелограмма, образованного этими векторами. А так как $dx$ и $dy$ малы, то криволинейностью малой поверхности можно пренебречь...

P.S. Видимо корень непонимания идёт от того, что в универе не было внешней алгебры...

[provincialka]

Векторное произведение - это близко. Свойства похожи. Но векторное произведение бывает только в трехмерном пространстве. считайте, что внешнее произведение - "обобщение" векторного.

[пианист]

Yarunya
Вам не кажется логичным, что площадь параллелограмма, построенного на двух равных векторах, будет нулевой? :о
Тогда сдаюсь :) боюсь, более простой мнемоники для восстановления (при необходимости) правил обращения с внешними дифформами я не могу придумать.
provincialka
Все-таки алгебры Ли и алгебры Грассмана сильно разные предметы. Я бы не стал говорить, что внешнее умножение это обобщение векторного.

[provincialka]

Ну ясно, я потому и поставила кавычки.