Понятие производной функции

[Guliashik]

Здравствуйте.
До сих пор относился к производной как к величине, показывающей скорость изменения функции.
Но читая "Теорию вероятностей" Вентцель, столкнулся с понятием плотности распределения и решил переосмыслить что же есть такое производная.
Воспользуемся определением производной через предел $\lim _{\Delta x \to 0} \frac {f(x_0+\Delta x) -f(x_0)}{\Delta x}$
Я думаю, что производная - это "среднее" изменение функции $f$ за единицу величины $x$, начиная с точки $x_0$. Очевидно что $\frac{1}{dx}$ есть ни что иное как, сколько раз помещается $dx$ в $1$. Тогда получается, что начиная, с точки $x_0$ за одну единицу величины $x$, функция $f$ изменится в среднем на $\frac{1}{dx}(f(x_0 + \Delta x) -f(x_0))$. То есть, предположили, что каждый из $\frac{1}{dx}$ отрезков, даёт изменение на $f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)$.
То есть моё понимание, сводится к тому, что это есть величина средняя.
Что не так с моим пониманием сути производной?

[provincialka]

Не так то, что вы путаете $\Delta x$ и $dx$. Ну, и еще не перешли к пределу. Производная - это предел средней скорости, т.е. скорость мгновенная.

[Guliashik]

А название мгновенное обусловлено тем, что в в следующий миг (спустя отрезок аргумента $x$ стремящийся к $0$) после $x_0$ у нас есть возможность узнать приращение функции, простым домножением производной на приращение аргумента? В отличие от средней скорости без предела, которая не даёт нам такой точности?

[provincialka]

Средняя скорость дает даже бОльшую точность для того промежутка, га котором посчитана. Только она для каждого промежутка может быть своя.

[Guliashik]

Я просто подразумевал для промежутка стремящегося к нулю.
Вроде бы стало понятнее. Спасибо Вам.

[Алексей К.]

Guliashik в сообщении #840349 писал(а):

Очевидно что $\frac{1}{dx}$ есть ни что иное

Не следует рассматривать $\frac{dy}{dx}$ как дробь и тем более как $dy\cdot\frac{1}{dx}$. Это типа такое хитрое цельно обозначение.

[provincialka]

Алексей К. в сообщении #840464 писал(а):

Не следует рассматривать $\frac{dy}{dx}$ как дробь

Ну почему же! Можно и как дробь. Отношение дифференциалов. В дифф.ур-ах мы же свободно умножаем/делим на $dx$, переходя от уравнений в производных к уравнениям в диффернциалах. Другой вопрос, что понимать под $dx$.

[iifat]

Можно, конечно, и как дробь. Главное — не забывать о специфике действий с бесконечно малыми.

[Anixx]

iifat в сообщении #840486 писал(а):

Можно, конечно, и как дробь. Главное — не забывать о специфике действий с бесконечно малыми.

Это не бесконечно малая. Бесконечно малая - это $\Delta x$ под знаком предела. А dх под знаком предела не встречается.

[iifat]

И тем не менее.

[ewert]

Guliashik в сообщении #840349 писал(а):

Я думаю, что производная - это "среднее" изменение функции $f$ за единицу величины $x$, начиная с точки $x_0$.

Ни разу не среднее. Это, наоборот, "мгновенное" -- ровно в этом и есть пхилосопхский скачок.

Guliashik в сообщении #840349 писал(а):

столкнулся с понятием плотности распределения

А это вообще к производной никак не относится. Понятие "плотности" -- оно сугубо посконное, сермяжное и т.д. Плотность вероятности -- это плотность в сугубо сермяжном понимании; это попросту вероятность, приходящаяся на единицу длины.

[iifat]

Недопол. Чем таким сермяжным плотность (вещества ли, вероятности) отличается от мгновенной скорости? Производная массы по объёму, производная распределения вероятности по параметру, нет?

[Guliashik]

ewert, конечно не среднее. Это предел среднего:)
А по поводу плотности распределения, не знаю, почему Вы так говорите. Это ведь производная от функции распределения.

[ewert]

Guliashik в сообщении #840801 писал(а):

Это ведь производная от функции распределения.

Это не производная изначально. Это именно плотность. Это именно вероятность, приходящаяся на единицу длины.
Это уж потом, после всех формализаций, она станет производной. Но -- уже потом, сугубо потом.

[Anixx]

iifat в сообщении #840557 писал(а):

И тем не менее.

Тем не менее или не тем не менее, dx и dy, дифференциалы, это не бесконечно малые. Это катеты треугольника, образованного касательной прямой и осью координат. Актуальных бесконечно малых (бесконечно малых не под знаком предела) в стандартном анализе нет, иначе меняется весь набор свойств числового множества.