Инъективность отображения и знак якобиана

[a.k.]

Подумал о следущем вопросе: пусть дано дифференцируемое отображение $f: D \to R^N$, где $D$-некоторая открытая односвязная область в $R^N$. Верно ли, что если отображение $f$ инъективно, то Якобиан $f$ не может принимать в $D$ значения разных знаков?
Для $N=1$ это довольно тривиально, и кажется интуитивно верным и для более высоких размерностей. Для простоты можно ограничиться случаем $N=2$ и $D=R^2$. Известна ли кому-нибудь подобное утверждение? Известен ли аналог теоремы Дарбу (о прохождении производной через любое промежуточное значение для Якобиана)? При беглом поиске ничего путного не нашел, кроме утверждения о том, что если отображение не инъективно, то найдется точка, в которой Якобиан равен нулю (аналог теоремы Ролля), доказательство которого, кстати, довольно нетривиально.

[Oleg Zubelevich]

утверждение следует из соображений топологической степени

[a.k.]

Думал, что привел контрпример, но нет... Вообще есть какая-нибудь литература с полным изложением дифференциальных свойств в $R^N$(может даже в банаховых пространствах, хотя наверняка там теряется тонкость некоторых утверждений из-за чрезмерной общности)? Мне пока что попадались некие куски в книгах по анализу, по оптимальному управлению, по геометрии - но это не целостное изложение.