Границы сходимости степенного ряда

[fflatx]

Это задача одного из наших студентов-заочников.

Исследовать границы сходимости ряда
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[\frac{6n^2+8n-8}{6n^2-n+8}\right]^{n^2}{(x-1)}^n$

Пробуем решить.
Используем необходимый признак сходимости
$\lim\limits_{n \to \infty}{a_n=0}$

${a_n}=\left[\frac{6n^2+8n-8}{6n^2-n+8}\right]^{n^2}$

$\lim\limits_{n \to \infty}{a_n}=\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{6n^2+8n-8}{6n^2-n+8}\right]^{n^2}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]^{\infty}=

=\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{n^2(6+\frac{8}{n}-\frac{8}{n^2})}{n^2(6-\frac{1}{n}+\frac{8}{n^2})}\right]^{\infty}$=\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{6}{6}\right]^{\infty}=\infty

Получается, что ряд расходится.
Преподаватель по результатам предварительной проверки утверждает, что использовано неверное условие сходимости. То есть данный признак здесь использовать нельзя. Интересно, почему?


Далее.
Пробуем использовать достаточный радикальный признак Коши.
$\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a^n}$

$\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left[\frac{6n^2+8n-8}{6n^2-n+8}\right]^{n^2}}=\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{6n^2+8n-8}{6n^2-n+8}\right]^{n}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]^{\infty}=

=\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{n^2(6+\frac{8}{n}-\frac{8}{n^2})}{n^2(6-\frac{1}{n}+\frac{8}{n^2})}\right]^{\infty}$=\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{6}{6}\right]^{\infty}=\infty

Опять получаем, что ряд расходится.

А может быть вот так
$\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n^2]{\left[\frac{6n^2+8n-8}{6n^2-n+8}\right]^{n^2}}=\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{6n^2+8n-8}{6n^2-n+8}\right]=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]^{\infty}=

=\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{n^2(6+\frac{8}{n}-\frac{8}{n^2})}{n^2(6-\frac{1}{n}+\frac{8}{n^2})}\right]$=\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{6}{6}\right]=1

Тогда получается, что результат неопределён - ряд может как сходиться, так и расходиться.
Но по-моему, это всё же неправильный вариант.


Ладно, далее пробуем достаточный признак Д'Аламбера
$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}$

$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\left[\frac{6{(n+1)}^2+8{(n+1)}-8}{6{(n+1)}^2-{(n+1)}+8}\right]^{{(n+1)}^2}}{\left[\frac{6n^2+8n-8}{6n^2-n+8}\right]^{n^2}}= \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\left[\frac{6(n^2+2n+1)+8n+8-8}{6(n^2+2n+1)-(n+1)+8}\right]^{{(n+1)}^2}} {\left[\frac{6n^2+8n-8}{6n^2-n+8}\right]^{n^2}}=

=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\left[\frac{6n^2+20n+6}{6n^2+11n+13}\right]^{{(n+1)}^2}} {\left[\frac{6n^2+8n-8}{6n^2-n+8}\right]^{n^2}}= \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\left[\frac{n^2(6+\frac{20}{n}+\frac{6}{n^2})}{n^2(6+\frac{11}{n}+\frac{13}{n^2})}\right]^{{(n+1)}^2}} {\left[\frac{n^2(6+\frac{8}{n}-\frac{8}{n^2})}{n^2(6-\frac{1}{n}+\frac{8}{n^2})}\right]^{n^2}}= \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\left[\frac{6}{6}\right]^{{(n+1)}^2}} {\left[\frac{6}{6}\right]^{n^2}}= \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1^{{(n+1)}^2}} {1^{n^2}}=

=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1^{(n^2+2n+1)}} {1^{n^2}}= \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1^{n^2}1^{2n}1} {1^{n^2}}= \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1^{2n}}{1}=\frac{1^\infty}{1}=\frac{\infty}{1}=\infty$

Здесь опять же, ряд расходится.

В лучшем случае по аналогии с признаком Д'Аламбера можно получить радиус сходимости
$R=\lim\limits_{n \to \infty}\left|{\frac{a_n}{a_{n+1}}}\right|=\frac{1}{\infty}=0$
следовательно ряд сходится в одной точке $x=0$

Что-то я делаю не так. Хотелось бы понять, что именно.
И как же всё-таки будет правильно?


Ещё меня смущает вот это
$\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{6}{6}\right]^{\infty}=\infty$
Если это неправильно, то и всё написанное выше тоже неправильно. Потому что во всех представленных вариантах так или иначе всё равно приходим к этому выражению.
Подозреваю, что это неправильно. А вот как будет правильно?.. Затрудняюсь сказать.

Прошу вашей помощи, уважаемые математики.

[Otta]

fflatx в сообщении #840422 писал(а):

Ещё меня смущает вот это
$\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{6}{6}\right]^{\infty}=\infty$
Если это неправильно, то и всё написанное выше тоже неправильно.

Так и есть. Неправильно, в смысле.
А как называется этот ряд? Заметьте, что общий член ряда содержит $x$, а Вы этот факт игнорируете начисто.

[fflatx]

Otta в сообщении #840425 писал(а):

Так и есть. Неправильно, в смысле.

А как правильно?

Вот здесь
$\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{6}{6}\right]^{\infty}
по сути неопределенность остаётся, она не раскрыта.
Вопрос: Такое в принципе никогда не может появиться (то есть свидетельствует об ошибке) или всё-таки это раскрывается каким-то образом?

Otta в сообщении #840425 писал(а):

А как называется этот ряд?

Не знаю. Если Вы меня просветите, буду благодарен.

Otta в сообщении #840425 писал(а):

Заметьте, что общий член ряда содержит $x$, а Вы этот факт игнорируете начисто.

Иными словами, моя ошибка начинается отсюда
${a_n}=\left[\frac{6n^2+8n-8}{6n^2-n+8}\right]^{n^2}$

То есть ${a_n}=\left[\frac{6n^2+8n-8}{6n^2-n+8}\right]^{n^2}{(x-1)}^n$
и используя признаки сходимости, предел нужно вычислять для него.
Правильно понимаю?

[provincialka]

fflatx в сообщении #840460 писал(а):

Такое в принципе никогда не может появиться (то есть свидетельствует об ошибке) или всё-таки это раскрывается каким-то образом?

Раскрывается предел в первоначальном виде. Те слагаемые, которые вы отбросили, как раз и важны для ответа.
Ряд называется "степенной", для него в общем виде описана область сходимости через коэффициенты. Но если вы этого не проходили, то

fflatx в сообщении #840460 писал(а):

${a_n}=\left[\frac{6n^2+8n-8}{6n^2-n+8}\right]^{n^2}{(x-1)}^n$

.
Используйте радикальный признак Коши.

[iifat]

Не понимаю ваших советов, извините. Добавить $x$, взять другой признак...

fflatx в сообщении #840422 писал(а):

$\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{6n^2+8n-8}{6n^2-n+8}\right]^{n^2}=\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{n^2(6+\frac{8}{n}-\frac{8}{n^2})}{n^2(6-\frac{1}{n}+\frac{8}{n^2})}\right]^{\infty}=\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{6}{6}\right]^{\infty}$

Кто, скажите мне, тот злодей, научивший вас вот так считать пределы? Не говоря уж о том, что $1^\infty$ — это неопределённость, а вовсе не $\infty$, вот так лихо заменять куски выражения их пределами надо ну очень осторожно.

[Otta]

iifat

(Оффтоп)

Ну что Вы горячитесь. Никто ничего особо не советовал, а тем более добавлять $x$. Советовала - я - обратить внимание, что он есть, то есть что ряд не числовой. Но поскольку халява на этом кончается и это мертвому припарки - пределов человек не знает, - то дальше советовать что-либо бесполезно. Вот никто и не советует.

Ну можно посоветовать выучить пределы. Прежде чем "помогать заочникам". И основную теорию для степенных рядов заодно.

[Otta]

fflatx в сообщении #840460 писал(а):

А как правильно?

Вот здесь
$\lim\limits_{n \to \infty}\left[\frac{6}{6}\right]^{\infty}$
по сути неопределенность остаётся, она не раскрыта.

Вот здесь уже поздно пить боржом. Вы уже сделали недопустимую операцию, перейдя к пределу, там, где нельзя было переходить (см. сообщение iifat).
Здесь Вас должно было насторожить только то, что получается $1^\infty$, что как известно, неопределенность, но это информация для внутреннего пользования. Для сведения самому себе. Переходить таким образом к пределу, заменяя основание единицей, а показатель бесконечностью, нельзя.

Можно: записать выражение в виде экспоненты, или прологарифмировать, или использовать второй замечательный предел, вариантов много. Только не то, что делаете Вы.

Но это о пределах.

О рядах: что Вам известно о степенных рядах? Как искать область сходимости степенного ряда?