Составить диффур к текстовой физической задаче

[a239]

Подскажите пожалуйста, как составить диффур к такой текстовой задачке:

"Парашютист прыгнул с высоты 1,5км, а раскрыл парашют на высоте 0,5км. Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50м/с. Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости."
//коммент к задачке: за неизвестную функцию следует взять скорость, ускорение свободного падения принять за 10м/с^2

Что-то у меня не получается все эти данные в кучу собрать ((

[Парджеттер]

Ну сам-то диффур, наверное, примерно таким будет:

$$\frac {dv}{dt} = g - \frac {A}{m}$$

$A$ - это аэродинамическая сила, раз она пропорциональна квадрату скорости, то $A=kv^2$, где $k$ - коэффициент.

Будет

$$\frac {dv}{dt}+\frac {kv^2}{m} = g $$

Гораздо интереснее условие с предельной скоростью. Подумайте куда его вставить. Вообще, эта функция достаточно четко выходит на горизонтальную асимптоту, которая определяется граничными условиями. И это условие задано, похоже, для того, чтобы найти отношение $k/m$.

Если, конечно, я нигде не написал глупость.

[venja]

a239 писал(а):

Подскажите пожалуйста, как составить диффур к такой текстовой задачке:

"Парашютист прыгнул с высоты 1,5км, а раскрыл парашют на высоте 0,5км. Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50м/с. Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости."
//коммент к задачке: за неизвестную функцию следует взять скорость, ускорение свободного падения принять за 10м/с^2

Что-то у меня не получается все эти данные в кучу собрать ((

Возможно так.
Ось х направим вниз, начало (точка ноль) на ней - точка прыжка.
$v(t)$ - cкорость в момент времени $t$.
По второму закону Ньютона (в проекции на ось х) :
$mv'=mg-kv^2$,
где к - неизвестный коэффициент пропорциональности. Начальное условие для задачи Коши:
v(0)=0$
Обозначим $a:=k/m$.
Тогда уравнение будет с одним неизвестным параметром:
$v'=g-a\cdot v^2$,
Неизвестный параметр найдем из того условия, что "предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50м/с" . Это значит, что ускорение при такой скорости зануляется. В этом случае из уравнения получаем:
$0=g-a\cdot 50^2$,
Отсюда найдете неизвестный параметр. И решайте задачу Коши.

[Парджеттер]

Уважаемый venja, зря вы всё решение выложили. Задача-то слишком простая, чтобы ее решать до конца. Правда, это чисто методическое соображение, которое в этом разделе совершенно правильно возведено в рамки официальных рекомендаций.

[venja]

Уважаемый Парджеттер, до конца решения еще далеко. Если сравнить, то я дал лишь немногим больше, чем Вы. Когда я писал свой ответ, Вашего ответа еще не было.

[a239]

Уважаемые Парджеттер и venja, спасибо большое за подсказки, но до решения еще действительно далеко.

Для справки часть ответа к задаче: $v(t)=50\th\frac {t}{5};$ $s(t)=250\ln\ch\frac {t}{5}$

Сколько не пытаюсь решать, не понимаю откуда там берутся гиперболические функции...

[Someone]

a239 писал(а):

Сколько не пытаюсь решать, не понимаю откуда там берутся гиперболические функции...

А у Вас что получается? Гиперболические функции, в конце концов, можно выразить через показательную:

$$\ch x=\frac{e^x+e^{-x}}2\text{,}$$

$$\sh x=\frac{e^x-e^{-x}}2\text{,}$$

$$\th x=\frac{\sh x}{\ch x}\text{,}$$

$$\cth x=\frac{\ch x}{\sh x}\text{.}$$

[Парджеттер]

venja писал(а):

Уважаемый Парджеттер, до конца решения еще далеко. Если сравнить, то я дал лишь немногим больше, чем Вы. Когда я писал свой ответ, Вашего ответа еще не было.

Извиняюсь, я несколько был введен в заблуждение первой строчкой. Там было написано "составить диффур", а не решить, поэтому, собственно, я и решил, что задача решена.

[a239]

Итак, что получается:

Из $0=g-a\cdot 50^2 \Rightarrow a=\frac{1}{25}$

Решаю диффур
$v'=g-av^2 \Rightarrow \frac {dv}{g-av^2}=dt \Rightarrow \int \frac{dv}{g-av^2}=t \Rightarrow \frac{1}{a}\int \frac{dv}{\frac{g}{a}-v^2}=t \Rightarrow$
$ \Rightarrow t=\frac{1}{a}\frac{\sqrt a}{2\sqrt g}\ln\frac{\frac{\sqrt g}{\sqrt a}+v}{\frac{\sqrt g}{\sqrt a}-v} \Rightarrow t=\frac{\sqrt 5}{2\sqrt 2}\ln\frac{5\sqrt 10+v}{5\sqrt 10-v} \Rightarrow e^{\frac{t2\sqrt 2}{\sqrt 5}}= - \frac{v+5\sqrt 10}{v-5\sqrt 10} \Rightarrow$
$ \Rightarrow v=5\sqrt 10 \left(1-\frac{2}{e^{\frac{t2\sqrt 2}{\sqrt 5}}+1}\right)=5\sqrt 10 \th\frac{t \sqrt 2}{\sqrt 5}$
Близко, но не то. Что-то не вижу, где я обсчитался...

[Парджеттер]

a239 писал(а):

Решаю диффур
$v'=g-av^2 \Rightarrow \frac {\partial v}{g-av^2}=\partial t \Rightarrow \int \frac{\partial v}{g-av^2}=t \Rightarrow \frac{1}{a}\int \frac{\partial v}{\frac{g}{a}-v^2}=t \Rightarrow$
$ \Rightarrow t=\frac{1}{a}\frac{\sqrt a}{2\sqrt g}\ln\frac{\frac{\sqrt g}{\sqrt a}+v}{\frac{\sqrt g}{\sqrt a}-v} \Rightarrow t=\frac{\sqrt 5}{2\sqrt 2}\ln\frac{5\sqrt 10+v}{5\sqrt 10-v} \Rightarrow e^{\frac{t2\sqrt 2}{\sqrt 5}}= - \frac{v+5\sqrt 10}{v-5\sqrt 10} \Rightarrow$
$ \Rightarrow v=5\sqrt 10 \left(1-\frac{2}{e^{\frac{t2\sqrt 2}{\sqrt 5}}+1}\right)=5\sqrt 10 \th\frac{t \sqrt 2}{\sqrt 5}$

Страсть-то какая. Откуда вы частные производные-то взяли?

[a239]

Где у меня частные производные??? Там же просто v'=dv/dt

[Парджеттер]

a239 писал(а):

Где у меня частные производные??? Там же просто v'=dv/dt

Да, откровенно говоря, везде. Вы свое решение-то посмотрите. У вас там что ни производная, так обязательно частная!
Правда, к делу-то это особенно не относится. Но правда говорит кое-о-чем.

[a239]

Ну хорошо. Точности к вычислениям это не добавило, разве что...

[Zai]

a239 писал(а):

Итак, что получается:

Из $0=g-a\cdot 50^2 \Rightarrow a=\frac{1}{25}$

$g=10 , \Rightarrow a=\frac{1}{250}

[a239]

Zai
Нда, я отжег, конечно... Спасибо))