Задачки по линейной алгебре

[a239]

Доброго времени суток!
Помогите, пожалуйста с решением.

1) Разложить матрицу в произведение верхне-треугольной на ортогональную.
(-1 -1 0)
( 1 -2 -1)
( 1 -2 2)

Должно быть что-то очень стандартное, но у меня как-то не получается...

2) Найти в стандартном базисе матрицу оператора проектирования на плоскость, перпендикулярную вектору (-6 6 6 -5)

В трехмерном пр-ве я решал подобную задачку. А тут что-то торможу - вроде как для этого вектора есть одна перпендикулярная ему гипер-плоскость и две 2х мерных. Здесь, видимо, имеется ввиду гипер-плоскость.

3) Найти инвариантные подпространства оператора, заданного матрицей
(x 1 0)
(0 x 0)
(0 0 y)

x<>y x<>1 y<>1

Здесь даже не знаю как подходить к задаче...


Заранее спасибо за помощь

[Brukvalub]

a239 писал(а):

Найти в стандартном базисе матрицу оператора проектирования на плоскость, перпендикулярную вектору (-6 6 6 -5)

По столбцам матрицы оператора в базисе расположены координаты образов базисных векторов в этом базисе. Вот и найдите эти координаты.

a239 писал(а):

Найти инвариантные подпространства оператора, заданного матрицей

Это проще всего делать в Жордановом базисе, но можно попробовать и так. Например, одномерные инвариантные подпространства определяются с помощью собственных векторов.

[a239]

Brukvalub писал(а):

Это проще всего делать в Жордановом базисе

Можно поподробнее про это? Мне, скорее всего, надо именно так.

[AD]

a239 писал(а):

Найти инвариантные подпространства оператора, заданного матрицей
(x 1 0)
(0 x 0)
(0 0 y)

Brukvalub писал(а):

Это проще всего делать в Жордановом базисе, но можно попробовать и так.

Так она и есть в жордановом базисе уже ...

a239 писал(а):

1) Разложить матрицу в произведение верхне-треугольной на ортогональную.

Я таких задач не решал, но существование такого разложения доказывается применением к матрице метода вращений. Ну то есть там домножают матрицу слева на повороты вокруг разных координатных осей, пока она не станет верхнетреугольной. Потом можно найти обратную матрицу. Наверное, это - не самый короткий способ. Могу подробнее рассказать.

[Brukvalub]

AD писал(а):

Так она и есть в жордановом базисе уже ...

Согласен
(я писал ответ, не вглядываясь в конкретный вид матрицы).

[a239]

С первой задачей я разобрался - это действие "представление произвольной матрицы в виде произведения ортогональной на треугольную" называется QR-факторизация и делается через ортогонализацию Грама-Шмидта.

Вторая задача тоже поддалась. До ответа еще не довел, но решение понятно.

Так что осталась задача про инвариантные подпространства... Из ответов выше я понял, что это простая задача. Можете кратко изложить шаги решения?

[Brukvalub]

a239 писал(а):

Так что осталась задача про инвариантные подпространства... Из ответов выше я понял, что это простая задача. Можете кратко изложить шаги решения?

А Вы знаете, как строение Жордановой формы связано с количеством линейно независимых собственных векторов и т.п.?

[a239]

К сожалению, про Жорданову форму я знаю пока только то, что написано про нее в википедии. Был бы благодарен за какой-нибудь информативный источник.

[Brukvalub]

К Вашим услугам: http://www.dep805.ru/education/kk/jmatrix/part1.htm

[a239]

Большое спасибо, буду изучать! ))

[нг]

a239
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

[нг]

сообщение AntoHa отделено в новую тему.

xxx минут спустя

И ещё два, вместе с замечанием за захват темы.

[a239]

По поводу моей третьей задачи - решается она так. Берем 0-мерное пр-во, элемент из него, умножаем на данную матрицу. Что было инвариантным, надо чтобы совпало с собой. Совпадает, ок. Аналогично с 1-мерным (берем вектор, домножаем на матрицу, должны получить вектор, параллельный ему). Ну и так далее.

Так что с задачами разобрался, но еще остался общий вопрос:

Я прочитал материалы, ссылку на которые любезно предоставил Brukvalub, но я все равно не понял, что такое Жорданов базис...
Т.е. там описано как его находить, но не более.

Как вот. В чем суть Жорданова базиса, что это такое?

UPD: все, разобрался. Вот здесь - http://window.edu.ru/window/library?p_rid=26924 есть ссылка на pdf файл, в котором хорошо описана тема