Нахождение пределов функций

[BENEDIKT]

Необходимо найти пределы функций без применения правила Лопиталя (т. к. задания даны в учебнике ещё до производной).

1) \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin (x- \frac{\pi}{6})}{\frac{\sqrt 3}{2}- \cos x}

2) \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}}(2x tg x - \frac{\pi}{\cos x})

Решение.

1) Пытался преобразовать, использовав формулу синуса разности аргументов:

\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin (x- \frac{\pi}{6})}{\frac{\sqrt 3}{2}- \cos x}=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x \cos \frac{\pi}{6}- \cos x \sin \frac {\pi}{6}}{\frac{\sqrt 3}{2} - \cos x}=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{6}} \frac{\frac{\sqrt 3}{2} \sin x -\frac{1}{2} \cos x }{\frac{\sqrt 3}{2} - \cos x}=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt 3 \sin x - \cos x }{\sqrt 3 - 2 \cos x}

Также пытался ввести новую переменную:
\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{6}}\frac{\sin (x- \frac{\pi}{6})}{\frac{\sqrt 3}{2}- \cos x}=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{6}}\frac{\sin t}{\cos \frac{\pi}{6}- \cos x}=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin t}{\cos (t-x) - \cos (t-\frac{\pi}{6})}
Далее стало ясно, что полез не в ту степь.

2) \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}}(2x tg x - \frac{\pi}{\cos x})= \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}}(\frac{2x \sin x}{\cos x}-\frac{\pi}{\cos x})= \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}}(\frac{2x \sin x-\pi}{\cos x})
В данном случае вообще неясно, c чего начинать... Есть ли смысл вводить новую переменную?

\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}}(2x tg x - \frac{\pi}{\cos x})=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}}({t tg {\frac{t}{2}} - \frac{\pi}{\cos {\frac{t}{2}}})
Далее формула половинного угла ни к чему хорошему не привела.

[gris]

С заменой правильная идея. Только когда вводите новую переменную, от старой надо совсем отказываться.

$\lim\limits_{x\to {\pi}/{6}}\dfrac{\sin (x- \dfrac{\pi}{6})}{\dfrac{\sqrt 3}{2}- \cos x}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{\cos \dfrac{\pi}{6}- \cos (t+\dfrac{\pi}{6})}=...$

Далее разность косинусов

Во втором пределе немного напрягает произведение икса и синуса. Такие штуки без хотя бы первого замечательного предела не очень поддаются. Но если ПЗП разрешён, то замена.

[BENEDIKT]

Пока не получилось.
1) $\lim\limits_{x\to {\pi}/{6}}\dfrac{\sin (x- \pi /6)}{\dfrac{\sqrt 3}{2}- \cos x}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{\cos \pi /6- \cos (t+\pi /6)}=$\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{-2 \sin \dfrac{\pi /6 -t - \pi /6}{2} \sin \dfrac{\pi /6-t-\pi /6}{2}}=$\lim\limits_{t\to 0} \dfrac{\sin t}{-2 \sin \dfrac{\pi/3+t}{2} \sin \dfrac{-t}{2}}$$=\lim\limits_{t\to 0} \dfrac{\sin t}{-2 \sqrt{\dfrac{1-\cos (\pi/3+t)}{2}}\sqrt{\dfrac{1-\cos t}{2}}}$$=\lim\limits_{t\to 0} \dfrac{\sin t}{-2 \sqrt{\dfrac{1-\cos (\pi/3) \cos t+\sin(\pi/3) \sin t-\cos t+\cos (\pi/3) \cos^2 t-\sin (\pi/3) \sin t \cos t}{4}}}$$=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{-4 \sqrt{1-\cos (\pi/3) \cos t+\sin(\pi/3) \sin t-\cos t+\cos (\pi/3) \cos^2 t-\sin (\pi/3) \sin t \cos t}}$

Во втором примере не совсем ясно, как использовать первый замечательный предел:
2) $\lim\limits_{x\to \dfrac{\pi}{2}}(2x tg x - \dfrac{\pi}{\cos x})= \lim\limits_{x\to \dfrac{\pi}{2}}(\dfrac{2x \sin x}{\cos x}-\dfrac{\pi}{\cos x})$
Стоит ли это домножить на $x$? Ведь $x\to \frac{\pi}{2}$?

[ИСН]

Первый пример - это какое-то "...кидает кум гранату, и остаётся нас двое - я и грузовик с корнями..."
Во втором следует перейти к переменной, которая стремилась бы туда, куда стремится переменная в первом замечательном пределе.

[provincialka]

Заметьте (в первом примере), что $\sin\frac{\frac\pi3+t}{2}$ к нулю не стремится. Его сразу можно заменить на предельное значение.

[BENEDIKT]

ИСН в сообщении #838634 писал(а):

Во втором следует перейти к переменной, которая стремилась бы туда, куда стремится переменная в первом замечательном пределе.

Пусть $t \to 0$, тогда $t=x-\dfrac{\pi}{2}$ Имеем:
$\lim\limits_{x\to \pi/2}(2x tg x - \dfrac{\pi}{\cos x})=\lim\limits_{t\to 0} (2(t+\dfrac{\pi}{2}) \tg(t+\dfrac{\pi}{2}) -\frac{\pi}{\cos(t+\dfrac{\pi}{2})})= $
$=\lim\limits_{t\to 0} \frac{(2t+\pi) \sin(t+\dfrac{\pi}{2})}{\cos(t+\dfrac{\pi}{2})} -\frac{\pi}{\cos(t+\dfrac{\pi}{2})})=$
Далее домножил на $(t+\dfrac{\pi}{2})$, дабы использовать первый замечательный предел:

$=\lim\limits_{t\to 0} (\frac{(t+\dfrac{\pi}{2})(2t+\pi) \sin(t+\dfrac{\pi}{2})}{(t+\dfrac{\pi}{2})\cos (t+\dfrac{\pi}{2})} -\dfrac{\pi}{\cos(t+\dfrac{\pi}{2})})=\lim\limits_{t\to 0}(\dfrac{2t^2+\pi t+\pi t+\dfrac{\pi^2}{2}}{\cos (t+\dfrac{\pi}{2})}-\frac{\pi}{\cos (t+\dfrac{\pi}{2})})=\lim\limits_{t\to 0} \frac{2,5t^2+2 \pi t - \pi}{\cps (t+ \dfrac{\pi}{2})}$
Пытался избавиться от полученного в числителе квадратного уравнения, заменив его равносильным выражением по формуле $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, но получил новое квадратное уравнение.

provincialka в сообщении #838667 писал(а):

Заметьте (в первом примере), что $\sin\frac{\frac\pi3+t}{2}$ к нулю не стремится. Его сразу можно заменить на предельное значение.

Попробовал. Для удобства представлю всё с самого начала:
$\lim\limits_{x\to {\pi}/{6}}\dfrac{\sin (x- \pi /6)}{\dfrac{\sqrt 3}{2}- \cos x}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{\cos \pi /6- \cos (t+\pi /6)}=$\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{-2 \sin \dfrac{\pi /6 -t - \pi /6}{2} \sin \dfrac{\pi /6-t-\pi /6}{2}}= \lim\limits_{t\to 0} \dfrac{\sin t}{-2 \sin \dfrac{\pi/3+t}{2} \sin (\dfrac{-t}{2})}$
Далее последовал Вашему совету:
$\lim\limits_{t\to 0} \dfrac{\sin t}{-2 \sin (\pi/6) \sin \dfrac{-t}{2}}=\lim\limits_{t\to 0} \dfrac{\sin t}{2 *\frac{1}{2} \sin \dfrac{-t}{2}}=\lim\limits_{t\to 0} \dfrac{t \sin t}{t \sin \dfrac{t}{2}}=\lim\limits_{t\to 0} \dfrac{t }{\sin \dfrac{t}{2}}$
Но от неопределённости избавиться пока не смог...

[provincialka]

В первом задании не нужен даже первый замечательный. Не умножайте на $t$, примените формулу синуса двойного угла.

[BENEDIKT]

А я пытался, но, к сожалению, не смог получить ответ:

$\lim\limits_{x\to \dfrac{\pi}{6}} \dfrac{\sin (x- \dfrac{\pi}{6})}{\dfrac{\sqrt 3}{2}- \cos x}=\lim\limits_{x\to \dfrac{\pi}{6}} \dfrac{\sin x \cos \dfrac{\pi}{6}- \cos x \sin \dfrac {\pi}{6}}{\dfrac{\sqrt 3}{2} - \cos x}=\lim\limits_{x\to \dfrac{\pi}{6}} \dfrac{\dfrac{\sqrt 3}{2} \sin x -\dfrac{1}{2} \cos x }{\dfrac{\sqrt 3}{2} - \cos x}=$
$=\lim\limits_{x\to \dfrac{\pi}{6}} \dfrac{\sqrt 3 \sin x - \cos x }{\sqrt 3 - 2 \cos x}$

Непонятно, как это дальше можно преобразовать.

[provincialka]

Вот вы дошли до этого:
$\lim\limits_{t\to 0} \dfrac{\sin t}{ \sin \dfrac{t}{2}}$. Тут-то и пора вспомнить тригонометрию. Хотя первый замечательный тоже подойдет.

[BENEDIKT]

Прошу прощения за непонятливость, но пока не ясно, как первый замечательный предел можно применить в этом выражении:
$\lim\limits_{t\to 0} \dfrac{\sin t}{ \sin \dfrac{t}{2}}$
Умножать на $t$ уже пытался:
$\lim\limits_{t\to 0} \dfrac{t \sin t}{t \sin \dfrac{t}{2}}=\lim\limits_{t\to 0} \dfrac{t }{\sin \dfrac{t}{2}}$
И какие тригонометрические формулы Вы имеете в виду? Синус половинного угла, к сожалению, не позволяет избавиться от неопределённости:
$\lim\limits_{t\to 0} \dfrac{\sin t}{ \sin \dfrac{t}{2}}=\lim\limits_{t\to 0} \dfrac{\sin t}{\sqrt{\dfrac{1+\cos t}{2}}}$

[svv]

$\sin 2x=2\sin x \cos x$

Если взять $x=\frac t 2$, то получим
$\sin t=2\sin \frac t 2 \cos \frac t 2$

Отсюда
$\dfrac {\sin t}{\sin \frac t 2}=...$

[BENEDIKT]

svv
Теперь ясно.
svv, provincialka, ИСН, gris
Огромное спасибо всем за помощь.

(Оффтоп)

Попробую ещё разобраться со вторым примером, который пока не удалось решить.

[provincialka]

Кстати, прелесть теории пределов в том, что некоторые вещи можно найти и нетвердо зная алгебру (тригонометрию). Например, первый замечательный предел имеет вид

$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$$

Значит,

$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin {\frac {x}{2}}}{x}=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin \frac {x}{2}}{2\cdot \frac {x}{2}}=\dfrac12$$

Потому что $x/2$ ведь тоже стремится к 0.

-- 21.03.2014, 00:18 --

По поводу второго примера небольшой совет. Сама по себе замена переменных никаких проблем не решает. Что $\cos x, x\to \pi/2$, что $\cos(t + \pi/2), t\to 0$ - совершенно одно и то же. Немного лучше будет, когда вы воспользуетесь свойствами триг. функций, например, тем, что $\cos(t + \pi/2)= -\sin t$. Тут уже аргумент синуса стремится "туда, куда надо":

ИСН в сообщении #838634 писал(а):

Во втором следует перейти к переменной, которая стремилась бы туда, куда стремится переменная в первом замечательном пределе.

Но и это еще не решение проблемы. Неопределенность не пропадет от того, что вы поменяете запись формулы, не изменив значения функций. Самое удобное в таких примерах - применить замену на эквивалентную функцию (если вы это проходили). Это не избавляет от неопределенности, но приводит к виду, когда "неудобный" сомножитель можно просто сократить.
Если эквивалентные использовать нельзя, придется применять искусственные преобразования, как я показала выше.