Общее решение дифф. уравнения в виде ряда

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Столкнулся с такой задачей: найти решение дифф. уравнения $xy'=xy+y$ с помощью рядов.

Решение ищем в виде ряда:

$$y(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}C_{k} x^k$$

Тогда

$$y'(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} k C_{k} x^{k-1}$$

Подставляем $y(x)$ в уравнение

$$x \cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty} k C_{k} x^{k-1}=x \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}C_{k} x^k+\sum\limits_{k=0}^{\infty}C_{k} x^k$$

Подскажите, пожалуйста, что делать дальше

PS. Искал подобные примеры в литературе - почти везде решается задача Коши, лишь в одном учебнике нашел пример нахождения общего решения, но не понял мысли.
PPS. В интернете тоже один пример нашел, и тоже не понял

Спасибо!

[Otta]

А задачу Коши поняли, как решать?

[Limit79]

Otta
Да, задачу Коши знаю как решить. Только правда одним методом - методом последовательного дифференцирования, а вот методом неопределенных коэффициентов как-то тяжко (насколько я понимаю, для общего решения нужен именно он).

[Otta]

Ну и какие проблемы, решайте задачу Коши с начальным условием $x(0)=a$. Например.

[svv]

Пожалуйста, не выносите $k$ за знак $\sum$, оно там не имеет смысла.

[Limit79]

Otta
Тут будет $y'=y+\frac{y}{x}$

и $y'(0) = a + \frac{a}{0} = ?$

-- 18.03.2014, 03:15 --

svv
Точно, спасибо!

-- 18.03.2014, 03:17 --

Otta
Эмм... $x(0)$?

[Otta]

Ну $y(0)$, пардоньте.
:)

[Limit79]

Otta
Я думал, может я чего-то не понимаю

А как с делением на ноль быть?

[Otta]

Не, это плохое начальное условие.
Попробуйте в единице, например, значение брать.

[olenellus]

Заметьте, что на ноль Вы сами поделили. Вот и решайте, что с этим делать. Правильнее всего — плюнуть.

Что касается задачи, то она, как обычно в случае решения рядами, решается приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях аргумента. Константа интегрирования сама вылезет.

[Limit79]

Otta
$y(1)=a$
$y'(1)=2a$
$y''(1) = 3a$
$y'''(1)=3a$

В задаче Коши, дальше, я искал (подбирал) общий член ряда исходя из конкретных чисел, а тут как?

-- 18.03.2014, 03:46 --

olenellus в сообщении #838110 писал(а):

приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях аргумента

А к чему их приравнивать?

[Otta]

Ой, это что такое страшное?
Вы лучше правда, стандартно, без излишеств, как olenellus советует.

[Ms-dos4]

Не очень ясно, в чем проблема.
Берёте ряд
$\[y = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{C_k}{x^k}} \]$
Подставляете $\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {k{C_k}{x^k}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {[{C_k}{x^{k + 1}} + {C_k}{x^k}]} \]$
Получаете условие на коэффициенты $\[n{C_n} = {C_n} + {C_{n - 1}}\]$
(причём $\[{C_0} = 0\]$)

Решаете уравнение и всё

[Limit79]

Ms-dos4
$C_{n} = \frac{C_{n-1}}{n-1}$

А почему $C_{0}=0$?

[Otta]

А при нулевой степени к-ты приравнять?