Вопрос по теории пределов

[provincialka]

Похоже, значения последовательности растут, когда они меньше $b$ и убывает, когда больше. Правда, они могут "перелететь" через корень. Но в целом приближаются к нему.
Посмотрите что-нибудь о сжимающих отображения.

[panzerfaust]

Вроде бы есть решение, но оно шаткое, не слишком строгое.
С самого начала:
Пусть дано:

$$x_{n+1} = \sqrt[k] {a_{n+1} + x_n} \ \ \ \ a_n \geqslant 0, k \geqslant 2$$

$$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \gamma$$

Тогда по определению имеем

$$For \ \ n \geqslant N_0 > 0: \ \ |a_n - \gamma| < \varepsilon, \varepsilon > 0$$

$$\gamma - \varepsilon < a_n < \gamma + \varepsilon$$

Пусть имеет место возрастание $x_n$; тогда по способу задания последовательности имеем

$$x_{n+1} = \sqrt[k] {a_{n+1} + x_n} > x_n$$

$$\sqrt[k] {a_{n+1} + x_n} > x_n$$

$$\gamma + \varepsilon > a_{n+1} > x^k_n - x_n$$

Если $x_n > 1$, то тогда существует $\alpha > 0 $ такое, что

$$x^k_n - x_n > \alpha x_n$$

потому что

$$x^k_n - (\alpha+1)x_n > 0$$

$$x_n > \sqrt[k-1] {\alpha + 1} > 1$$

Получаем

$$\gamma + \varepsilon > x^k_n - x_n > \alpha x_n$$

$$\frac{\gamma + \varepsilon}{\alpha} > x_n$$

Отсюда немедленно следует, что $\lim\limits_{n\to\infty} x_n$ существует и конечен.

Пусть $0 < x_n \leqslant 1$, тогда последовательность $x_n$ немедленно сходится в силу своей ограниченности. Если существует такое $N_1 > N_0$, что $x_n > 1$, то применяется метод выше. Для убывания аналогично.

[panzerfaust]

Насколько верно это доказательство ?

[iifat]

panzerfaust в сообщении #837559 писал(а):

Если $x_n > 1$

Не вижу, откуда это следует. То бишь, для возрастающих $x_n$, переваливающих где-нить за единицу, вы доказали. Для убывающих, видимо, аналогично, с каким-нить дополнительным условием. Осталось собать всё воедино.