численные методы (метод последовательных приближений)

[elena_t]

Помогите найти (или доказать) доказательство такой теоремы:


Пусть функция $\varphi (x)$ диференциирована на $[a,b]$ и $|\varphi' (x)| {\leq}q<1$. Все последовательные приближения $x_n=\varphi(x_{n-1})$ не выходят за пределы $(a,b)$ Тогдa последовательность $\{x_n\}$ сбегается, граница этой последовательности - единственный корень урaвнения на $(a,b)$ и справедлива следующая оценка:

$$|c-x_n|<\frac{q^n}{1-q}|x_1-x_0|$$

[Brukvalub]

Используйте оценку

$$ \left| {x_n - x_{n - 1} } \right| = \left| {\varphi (x_{n - 1} ) - \varphi (x_{n - 2} )} \right| = \left| {\varphi '(\xi )} \right|\left| {x_{n - 1} - x_{n - 2} } \right| \leqslant q\left| {x_{n - 1} - x_{n - 2} } \right|$$

, тогда последовательность итераций - фундаментальная, значит она сходится. Переходом к пределу в равенстве $x_n=\varphi(x_{n-1})$ получаем, что предел с последовательности итераций - неподвижная точка функции $\varphi (x)$. Снова используйте указанную мной оценку и то, что

$$\varphi (c) = c$$

, тогда получите оценку

$$|c-x_n|<\frac{q^n}{1-q}|x_1-x_0|$$

.

[elena_t]

ок, спасибо

Добавлено спустя 12 минут 56 секунд:

$|x_n-x_{n-1}| {\leq} q |x_{n-1}-x_{n-2} | {\leq} q^2 |x_{n-2}-x_{n-3} | {\leq} q^3 |x_{n-3}-x_{n-4} | {\leq} \ldots {\leq} q^{n-1} |x_1-x_0 | $

откуда тогда в знаменателе $1-q$ ?

[Brukvalub]

Если k>n, то

$$ \left| {x_k - x_n } \right| = \left| {\sum\limits_{m = 1}^{k - n} {(x_{k - m + 1} - x_{k - m} )} } \right| \leqslant \sum\limits_{m = 1}^{k - n} {\left| {(x_{k - m + 1} - x_{k - m} )} \right|} \leqslant \sum\limits_{m = 1}^{k - n} {q^{k - m} \left| {x_1 - x_0 } \right|} < \left| {x_1 - x_0 } \right|q^n \sum\limits_{m = 0}^\infty {q^m } $$

Теперь сделайте предельный переход при

$$k \to \infty $$

[elena_t]

я все поняла! спасибо