2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Вопрос по теории пределов
Сообщение16.03.2014, 13:22 
Аватара пользователя
Похоже, значения последовательности растут, когда они меньше $b$ и убывает, когда больше. Правда, они могут "перелететь" через корень. Но в целом приближаются к нему.
Посмотрите что-нибудь о сжимающих отображения.

 
 
 
 Re: Вопрос по теории пределов
Сообщение16.03.2014, 18:50 
Вроде бы есть решение, но оно шаткое, не слишком строгое.
С самого начала:
Пусть дано:
$$x_{n+1} = \sqrt[k] {a_{n+1} + x_n} \ \ \ \ a_n \geqslant 0, k \geqslant 2$$
$$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \gamma$$
Тогда по определению имеем
$$For \ \ n \geqslant N_0 > 0: \ \ |a_n - \gamma| < \varepsilon, \varepsilon > 0$$
$$\gamma - \varepsilon < a_n < \gamma + \varepsilon$$

Пусть имеет место возрастание $x_n$; тогда по способу задания последовательности имеем
$$x_{n+1} = \sqrt[k] {a_{n+1} + x_n} > x_n$$
$$\sqrt[k] {a_{n+1} + x_n} > x_n$$
$$\gamma + \varepsilon > a_{n+1} > x^k_n - x_n$$
Если $x_n > 1$, то тогда существует $\alpha > 0 $ такое, что
$$x^k_n - x_n > \alpha x_n$$
потому что
$$x^k_n - (\alpha+1)x_n > 0$$
$$x_n > \sqrt[k-1] {\alpha + 1} > 1$$
Получаем
$$\gamma + \varepsilon > x^k_n - x_n > \alpha x_n$$
$$\frac{\gamma + \varepsilon}{\alpha} > x_n$$
Отсюда немедленно следует, что $\lim\limits_{n\to\infty} x_n$ существует и конечен.

Пусть $0 < x_n \leqslant 1$, тогда последовательность $x_n$ немедленно сходится в силу своей ограниченности. Если существует такое $N_1 > N_0$, что $x_n > 1$, то применяется метод выше. Для убывания аналогично.

 
 
 
 Re: Вопрос по теории пределов
Сообщение16.03.2014, 20:22 
Насколько верно это доказательство ?

 
 
 
 Re: Вопрос по теории пределов
Сообщение17.03.2014, 01:29 
panzerfaust в сообщении #837559 писал(а):
Если $x_n > 1$
Не вижу, откуда это следует. То бишь, для возрастающих $x_n$, переваливающих где-нить за единицу, вы доказали. Для убывающих, видимо, аналогично, с каким-нить дополнительным условием. Осталось собать всё воедино.

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group