Является ли множество открытым?

[tech]

Здравствуйте.
Является ли множество $E=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathds{R}^4: e^{x_1^2+x_2^2+x_3^2}<1+x_4^2\}$
в пространстве $\mathds{R}^4$ а) открытым; б) замкнутым; в) областью?
б) Чтобы доказать незамкнутость, я поступаю следующим образом: беру точку $(0,0,0,0)$, которая множеству, очевидно, не принадлежит. Фиксирую, к примеру, $x_2=x_3=0$ и в окрестности $0$ раскладываю $e^{x_1^2}$, получаю: \ $x_1^2+x_1^4/2+o(x_1^4)<x_4^2$. Отсюда следует, что в любой окрестности точки $(0,0,0,0)$ найдется точка из множества, значит, эта точка является точкой прикосновения. Замыкание множества не совпадает с множеством, следовательно, оно не замкнуто.
а) Нужно доказать, что каждая точка множества лежит в нем вместе со своей окрестностью (судя по виду неравенства, множество открыто), но как это сделать, я не знаю.

[mihailm]

в) оно не связно, разделено плоскостью $x_4=0$

-- Чт мар 13, 2014 21:25:11 --

tech в сообщении #836558 писал(а):

...беру точку $(0,0,0,0)$, которая множеству, очевидно, не принадлежит...

Далее находите последовательность точек принадлежащих множеству, но которая сходится к этому нулю

-- Чт мар 13, 2014 21:27:40 --

а) Это общий факт открытости $f(\mathbf{x})<0$ где слева непрерывная функция. Следует из определения непрерывности

[tech]

mihailm
Большое спасибо, доказал этот факт методом от противного. С его помощью просто доказывается несвязность, так как для несвязности нужно иметь два открытых множества, поэтому просто берём две "половинки" $E$, где $x_4>0$ и $x_4<0$ (так как это подмножества открытого множества, то они тоже открыты).
А в пункте б) можно взять последовательность точек $(0,0,0,\frac1n)$

[tech]

Хотя нет, подмножество открытого множества не всегда является открытым множеством, можно же взять, к примеру, подмножество из одного элемента.
Но в данном случае эти "половинки" будут открытыми множествами, так как $x_4>0$ – открытое множество, множество, которое задается $f(x)<0$ – тоже открытое, а пересечение конечного числа открытых есть открытое.