Почему норма стремится к нулю?

[samson4747]

Доброго времени суток, Ув. форумчане!

Подскажите пожалуйста, почему будет иметь место стремление к нулю нормы, о которой опишу ниже, при $n\to0$?

Имеем, следующее утверждение:
.

То есть (если уже рассматривать $\lim\limits_{n\to\infty}\|\cdot\|$ ) получим:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\|\cdot\|_{v,2}^2\leqslant\dots\leqslant K\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{\mathbb D_r}\left|f_n\bigl(\varphi(z)\bigr)\right|+\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{\ds{{\mathbb D_r}^\complement}}\dfrac{w(z)\bigl|\psi(z)\bigr|^2}{v\bigl(\varphi(z)\bigr)}\|f_n\|_{v,2}^2=:K\,R_1+R_2$$

Очевидно, что $K\,R_1<\varepsilon$. (в силу критерия равномерной сходимости функциональных последовательностей)
Почему, $R_2<\varepsilon$, там для каждого компакта, будет существовать своя эпсилон(например $\varepsilon:=1$), в итоге там будет некое число, не стремящееся, конечно, к нулю...

Чего не уловил, возможно?
Спасибо!

[samson4747]

samson4747 в сообщении #836463 писал(а):

при $n\to0$?

$n\to\infty$

[Narn]

А это из какой-то книжки? Можете название привести?

(Оффтоп)

Использовать $K$ для обозначения произвольного компакта
и одновременно числовой константы --- это

[SpBTimes]

Так там же норма последовательности еще есть. А последовательность к чему идет?

[samson4747]

Boundedness and compactness of weighted composition operators between weighted Bergman spaces Elke Wolf

(Оффтоп)

Narn, мне тоже это не совсем ясно, прямо рассердило.

SpBTimes, равномерно к нулю внутри области.

[samson4747]

Контрпример, чтобы построить противоречие к Утверждению, тоже не выходит составить. Доказательство, на мой взгляд неверно, но автор, мягко говоря, серьёзный человек, поэтому тут явно мой промах в понимании его изложения.

[RIP]

Да там тупо опечатка (переставили две формулы местами). Т.е. должно быть "If for every $\varepsilon>0$ there is $K\subset\mathbb D$\ldots".

[samson4747]

Ну раз так посчитать, то тривиально.

[RIP]

Да и если задуматься, фраза "Для любого $K$ найдётся $C$, что $\sup_{x\in S\setminus K}f(x)<C$" просто бессмысленна. Это то же самое, что $\sup_{x\in S}f(x)<+\infty$.