Теорема Хана-Банаха(пример)

[Vanilin]

Помогите привести пример линейного функционала продолжение по Х-Б которого на все пространства не единственно.Есть еще критерий единственности продолжение функционала единственно $\Leftrightarrow$ сопряженное пространство строго нормировано($\left\|x+y\right\|=\left\|x\right\|+\left\|y\right\|\Leftrightarrow \exists a,b \geqslant 0: ax=by$ ).
Теорема(Хана-Банаха для нормированного пространства)
$X$- линейное нормированное пространство, $Y \subset X, f \in Y^{*}\Rightarrow \exists F \in X^{*}$
$1. \forall y \in Y, f(y)=F(y)$
$2. \left\| F \right\| _{ X^{*} }=\left\| f \right\|_{Y^{*}}$

[Oleg Zubelevich]

Vanilin в сообщении #835422 писал(а):

Помогите привести пример линейного функционала продолжение по Х-Б которого на все пространства не единственно

поищите среди линейных функционалов на $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1)$

[Vanilin]

Oleg Zubelevich в сообщении #835680 писал(а):

Vanilin в сообщении #835422 писал(а):

Помогите привести пример линейного функционала продолжение по Х-Б которого на все пространства не единственно

поищите среди линейных функционалов на $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1)$

Я так понимаю что это $\left\| . \right\|_{1}=\sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}$, тогда можно взять в качестве функционала скалярное произведение.

[Vanilin]

Я подумал над такими функционалами как проекция и скалярное произведение и вроде продолжение единственно. Подскажите пожалуйста поподробней.