Точки ветвления и ветви аналитической функции

[OlgaD]

Здравствуйте! Помогите разобраться с техникой определения точек ветвления аналитических функций (разбираюсь практически с нуля). Возможно, подобный вопрос уже задавался, но я не смогла найти.

Смысл вопроса в следующем. Существует утверждение: точка $z=\infty$ является точкой ветвления для функции $f(z),$ если функция $f(1/z)$ имеет точку ветвления при $z=0.$

Рассмотрим функцию $f(z)=\sqrt{z(z-2)}.$ Насколько я знаю, точки ветвления определяются как точки, в которых функция обращается в нуль или в бесконечность (не утверждаю, что это точное определение). Тогда кандидаты в точки ветвления - точки $z=0,2$ и $\infty.$ Преобразуем функцию $f(z):$ $f(z)=\sqrt{z}\cdot\sqrt{z-2}.$ Тогда, если обходить по замкнутому контуру любую из точек 0 или 2, вроде бы один из корней перейдет к новому значению, а другой корень не изменится. Если же обойти обе точки 0 и 2 сразу по окружности достаточно большого радиуса, то это все равно, что обойти вокруг $\infty.$ И здесь (опять вроде бы) ничего не изменится, что должно нас привести к выводу, что точка $z=\infty$ не является точкой ветвления этой функции. Делаю вывод, тогда согласно утверждению выше, точка $z=0$ не должна быть точкой ветвления функции $f(1/z).$ А как это показать? Функция $f(1/z)=\sqrt{\left(\frac{1}{z^2}-\frac{2}{z}\right)}?$

[ex-math]

Ну обойдите вокруг нуля по маленькой окружности и посмотрите что будет.
Такой маленькой, чтобы второе слагаемое под корнем не испортило аргумент первого.

[OlgaD]

ex-math в сообщении #834883 писал(а):

Ну обойдите вокруг нуля по маленькой окружности и посмотрите что будет.
Такой маленькой, чтобы второе слагаемое под корнем не испортило аргумент первого.

Это Вы про какую функцию говорите - $f(z)$ или $f(1/z)$? И слагаемое в каком смысле?

[ewert]

OlgaD в сообщении #834870 писал(а):

точка $z=0$ не должна быть точкой ветвления функции $f(1/z).$

Не должна быть. Однако у функции в целом -- два переплетающихся листа, и в окрестности нуля эта функция на каждом из листов будет принимать свои значения (сами по себе не ветвящиеся).

OlgaD в сообщении #834889 писал(а):

Вы про какую функцию говорите - $f(z)$ или $f(1/z)$? И слагаемое в каком смысле?

Про вторую. И в смысле слагаемое под корнем.

[OlgaD]

Про двулистность функции я понимаю, но не уверена, что технически могу осуществить предложенный процесс: (так как тогда, наверное, и вопроса бы не было )

ex-math в сообщении #834883 писал(а):

Ну обойдите вокруг нуля по маленькой окружности и посмотрите что будет.
Такой маленькой, чтобы второе слагаемое под корнем не испортило аргумент первого.

Хотя и попробую. Если я возьму окружность с центром в нуле и радиусом $1/2,$ т.е. другими словами буду двигаться по окружности $z=(1/2)e^{it},$ то, наверное, получу

$$f\left(\frac{1}{z}\right)=\sqrt{4e^{-2it}-4e^{-it}}=2\sqrt{e^{-2it}-e^{-it}}.$$

Дальше честный тупик, так не понятно, что с этим выражением делать дальше...

[ewert]

OlgaD в сообщении #834910 писал(а):

Если я возьму окружность с центром в нуле и радиусом $1/2,$

Вас же просили маленьким, а не 1/2.

[provincialka]

OlgaD, а что такое корень? Это функция?

[OlgaD]

хотя, если уж совсем мудрить... то, наверное, можно еще написать покомпактней

$$f(1/z)=2e^{-it/2}\sqrt{e^{-it}-1}.$$

Затем взять точку $t=t_0$ и посмотреть, что будет в точке $t=t_0+2\pi.$

-- 10.03.2014, 14:30 --

provincialka в сообщении #834914 писал(а):

OlgaD, а что такое корень? Это функция?

Не думаю...Функция должна быть однозначной

[provincialka]

OlgaD в сообщении #834915 писал(а):

Не думаю...Функция должна быть однозначной

OlgaD в сообщении #834870 писал(а):

Помогите разобраться с техникой определения точек ветвления аналитических функций

Не видите тут противоречия?
К сожалению, я не достаточно знаю ТФКП. Что такое, все же "точка ветвления" и у чего она бывает?
В обычном матане это понятие связано с уравнениями, т.е. функциями, заданным неявно. Такое уравнение может иметь несколько решений, которые пересекаются в точках ветвления. А здесь что?

[OlgaD]

не совсем, если иметь в виду полную аналитическую функцию

[ex-math]

Не надо корень, смотрите подкоренное выражение. Если при обходе аргумент у Вас получит приращение $4\pi$, то как бы Вы ни выбрали исходное значение корня -- вернетесь к нему.
Возьмите радиус $\frac1{10}$, например. Нарисуйте кривую, которую опишет $\frac1{z^2}$, и кривую, которую опишет $-\frac2z$. Потом попытайтесь сложить. Абсолютная точность не нужна, надо лишь понять, сколько оборотов вокруг нуля сделает результирующая кривая.

[OlgaD]

provincialka в сообщении #834921 писал(а):

К сожалению, я не достаточно знаю ТФКП. Что такое, все же "точка ветвления" и у чего она бывает?
В обычном матане это понятие связано с уравнениями, т.е. функциями, заданным неявно. Такое уравнение может иметь несколько решений, которые пересекаются в точках ветвления. А здесь что?

Насколько я понимаю, в ТФКП точка ветвления - это точка, при обходе вокруг которой по замкнутому контуру мы переходим к новой ветви функции.

-- 10.03.2014, 14:40 --

ex-math в сообщении #834925 писал(а):

Не надо корень, смотрите подкоренное выражение. Если при обходе аргумент у Вас получит приращение $4\pi$, то как бы Вы ни выбрали исходное значение корня -- вернетесь к нему.
Возьмите радиус $\frac1{10}$, например. Нарисуйте кривую, которую опишет $\frac1{z^2}$, и кривую, которую опишет $-\frac2z$. Потом попытайтесь сложить. Абсолютная точность не нужна, надо лишь понять, сколько оборотов вокруг нуля сделает результирующая кривая.

Спасибо...сейчас похимичу

[provincialka]

OlgaD в сообщении #834926 писал(а):

Насколько я понимаю, в ТФКП точка ветвления - это функция, при обходе вокруг которой по замкнутому контуру мы переходим к новой ветви функции.

Ну, видимо, все-таки "точка". А что такое "новая ветвь"? Значит это все же не функция, то есть она не однозначна? Или она однозначна не на плоскости, а на какой-то римановой поверхности. У которой и возникает эта особая точка?

[OlgaD]

На римановой поверхности однозначна, а сама функция многозначна на комплексной плоскости.

[OlgaD]

Рассмотрела окружность $z=\frac{1}{10}e^{-it}$ и получила для выражения под корнем $\frac{1}{z^2}-\frac{2}{z}$ кривую, обходящую точку 0 дважды. Т.е. это я так понимаю и означает, что аргумент подкоренного выражения получит приращение $4\pi.$ Откуда делаем вывод, что при обходе по маленькой окружности вокруг точки 0 ничего не меняется. Значит точка 0 точкой ветвления для функции $f(1/z)$ не является. Чего собственно и хотели

А другие приемы есть для подобного анализа? Всем спасибо за помощь!