Уравнение восьмой степени. (Псевдо гауссовское)

[Vvp_57]

Зная, что корни уравнения:

$x^8+x^7-7x^6-6x^5+15x^4+10x^3-10x^2-4x+1=0\qquad\eqno (1)$

Есть косинусы: $2\cos \left(\frac{n\pi }{17} \right)$, где $n=2,4,8,16$
и $2\cos \left(\frac{m\pi }{17} \right) $, где $m=6,12,10,14$ выразите
корни уравнения:

$x^8-x^7-7x^6+\frac{43}{4}x^4-\frac{23}{4}x^3-\frac{3}{2}x^2+4x-\frac{13}{4}=0$

Через корни уравнения (1).

[Vvp_57]

Прошу прощения, должно быть:
$x^8-x^7-7x^6+6x^5+\frac{43}{4}x^4-\frac{23}{4}x^3-\frac{3}{2}x^2+4x-\frac{13}{4}=0$

[maxal]

Согласно PARI/GP, в соответствующем расширении многочлен разваливается на квадратные множители, корни которых находятся без проблем по стандартной формуле.

? nffactor( nfinit( y^8+y^7-7*y^6-6*y^5+15*y^4+10*y^3-10*y^2-4*y+1), (x^8-x^7-7*x^6+6*x^5+43/4*x^4-23/4*x^3-3/2*x^2+4*x-13/4)*4 )
%1 = 
[x^2 + Mod(y^4 - 4*y^2 + y + 2, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1)*x + Mod(-3/2*y^7 - 3/2*y^6 + 10*y^5 + 8*y^4 - 19*y^3 - 19/2*y^2 + 17/2*y, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1) 1]

[x^2 + Mod(y^5 - 4*y^3 + 2*y, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1)*x + Mod(1/2*y^7 + 1/2*y^6 - 4*y^5 - 4*y^4 + 9*y^3 + 17/2*y^2 - 11/2*y - 7/2, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1) 1]

[x^2 + Mod(-y^7 - y^6 + 6*y^5 + 5*y^4 - 10*y^3 - 5*y^2 + 4*y - 1, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1)*x + Mod(1/2*y^7 + 1/2*y^6 - 4*y^5 - 2*y^4 + 9*y^3 + 1/2*y^2 - 7/2*y + 1, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1) 1]

[x^2 + Mod(y^7 + y^6 - 7*y^5 - 6*y^4 + 14*y^3 + 9*y^2 - 7*y - 2, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1)*x + Mod(1/2*y^7 + 1/2*y^6 - 2*y^5 - 2*y^4 + y^3 + 1/2*y^2 + 1/2*y + 3/2, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1) 1]

P.S. Ну или можно напрямую решить уравнение в косинусах, как мы это делали раньше.

[Vvp_57]

maxal
Мне кажется, что напрямую не получится. Ведь четыре корня действительные,
а другие четыре нет. Нельзя же набрать мнимые числа суммой действительных
косинусов.

(без названия)

Выражение в радикалах(для одного корня), не столь важно, но хорошо б таковое посмотреть,
ведь оно чуть-чуть отличается от приведенного в Википедии. Для 17-угольника.