Классические операторнозначные поля

[SergeyGubanov]

kirillD в сообщении #833401 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #833359 писал(а):

а гравитационное поле тоже самое обыкновенное классическое, но не операторнозначное, ну, не повезло ему, оно просто числовое.

Хотелось бы увидеть развитие этой мысли.

Ну, есть идейка, так в порядке бреда, до ума ещё не доведена. Напишу, может народ зацепится, доведёт...

Существует некое "групповое" трёхмерное однородное пространство (пространство постоянной отрицательной кривизны):

$$ d\ell^2 = h_{i j}(p) \, dp^i dp^j = \frac{m^2}{m^2 + p^2} dp^2 + p^2 d\theta^2 + p^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2. $$

Мера интегрирования, тензор Риччи, скалярная кривизна:

$$ \sqrt{h} \, d_3 p = \frac{m}{\sqrt{m^2 + p^2}} p^2 \sin(\theta) \, dp \, d\theta \, d\varphi, \quad R_{i j} = -\frac{2}{m^2} h_{i j}, \quad R = - \frac{6}{m^2}. $$

То есть константа $m$ связана с радиусом кривизны этого "группового" пространства.

На этом "групповом" пространстве живут операторы $a(p)$ и $a^{\dag}(p)$

Существует наше четырёхмерное пространство событий. На нашем пространстве событий живёт обыкновенное классическое операторнозначное поле $\varphi(x)$

$$ \varphi (x) = \int \left( f(x, p) a(p) + f^{*}(x, p) a^{\dag}(p) \right) \sqrt{h} \, d_3 p = \int \left( f(x, p) a(p) + f^{*}(x, p) a^{\dag}(p) \right) \frac{m \, p^2 \sin(\theta) \, dp \, d\theta \, d\varphi}{\sqrt{m^2 + p^2}} $$

Смотрим и глазам своим не верим, да это ж получилось "квантовое поле"! Масса "квантов" этого "квантового поля" определяется радиусом кривизны его группового пространства $R = - \frac{6}{m^2}$.

Так вот, в этом смысле, всем безмассовым "квантовым полям" с кривизной группового пространства сильно не повезло.

[EvilPhysicist]

SergeyGubanov в сообщении #833462 писал(а):

"групповое"

Что за "групповое" простарнство? Дайте определение.

SergeyGubanov в сообщении #833462 писал(а):

однородное пространство (пространство постоянной отрицательной кривизны)

Однородное пространство и пространство постоянной отрицательной кривизны не одно и то же.
Приведенная вами метрика задает простарнство кривизны. Но вот то, что оно однородно мне не очевидно.

SergeyGubanov в сообщении #833462 писал(а):

На этом "групповом" пространстве живут операторы $a(p)$ и $a^{\dag}(p)$

И на что они действуют? И каким образом?

SergeyGubanov в сообщении #833462 писал(а):

На нашем пространстве событий живёт обыкновенное классическое операторнозначное поле $\varphi(x)$

Если следующее выражение для нашего 4-мерного простарнства, то почему интегрирование по $d^3 p$?

SergeyGubanov в сообщении #833462 писал(а):

Смотрим и глазам своим не верим, да это ж получилось "квантовое поле"!

Ничего подобного. Это всего лишь "операторозначное" поле, не больше.
Чтобы назвать что-то квантовым надо, как минимум, показать, что имеют место определенные комутационные соотношения( или постулировать их).

SergeyGubanov в сообщении #833462 писал(а):

Масса "квантов" этого "квантового поля" определяется радиусом кривизны его группового пространства

Где это она определяется? Покажите ка как вы это сделали.

[kirillD]

SergeyGubanov в сообщении #833462 писал(а):

kirillD в сообщении #833401 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #833359 писал(а):

а гравитационное поле тоже самое обыкновенное классическое, но не операторнозначное, ну, не повезло ему, оно просто числовое.

Хотелось бы увидеть развитие этой мысли.

Ну, есть идейка, так в порядке бреда, до ума ещё не доведена. Напишу, может народ зацепится, доведёт...

Вопрос дилетанта. Вот это: "... гравитационное поле ... не операторнозначное, ... оно просто числовое."
Это ваше? Или это из учебников?

[EvilPhysicist]

kirillD в сообщении #833601 писал(а):

Вопрос дилетанта. Вот это: "... гравитационное поле ... не операторнозначное, ... оно просто числовое."
Это ваше? Или это из учебников?

Это точно не из учебников.

[SergeyGubanov]

kirillD в сообщении #833601 писал(а):

Это ваше? Или это из учебников?

Это народное, фольклор.

EvilPhysicist в сообщении #833548 писал(а):

Что за "групповое" простарнство? Дайте определение.

Посмотрите в учебниках по математике что такое "непрерывная группа". В данном случае, элементы непрерывной группы нумеруются тремя вещественными числами. Рассматривая эти числа как координаты в групповом пространстве приходим к идее существования оного.

EvilPhysicist в сообщении #833548 писал(а):

Приведенная вами метрика задает простарнство кривизны. Но вот то, что оно однородно мне не очевидно.

Однородное пространство обладает такими полями Киллинга, двигаясь вдоль которых из любой точки можно попасть в любую другую точку этого пространства (равноправие всех точек пространства). Изотропное пространство - равноправие всех направлений. Из изотропности в окрестности любой точки следует однородность. Изотропность в окрестности любой точки эквивалентна тому, что тензор Риччи пропорционален метрическому тензору, что в данном случае и имеет место: $R_{i j} = -\frac{2}{m^2} h_{i j}$.

EvilPhysicist в сообщении #833548 писал(а):

И на что они действуют? И каким образом?

Для примера это не важно. Действуют на что-то. Каким-то образом.

EvilPhysicist в сообщении #833548 писал(а):

Если следующее выражение для нашего 4-мерного простарнства, то почему интегрирование по $d^3 p$?

Интеграл по всему групповому пространству. Оно трёхмерное. В чём вопрос-то?

EvilPhysicist в сообщении #833548 писал(а):

Ничего подобного. Это всего лишь "операторозначное" поле, не больше.
Чтобы назвать что-то квантовым надо, как минимум, показать, что имеют место определенные комутационные соотношения( или постулировать их).

Это уже дело техники. Было бы желание.

EvilPhysicist в сообщении #833548 писал(а):

Где это она определяется? Покажите ка как вы это сделали.

$R = - \frac{6}{m^2}$, и мера интегрирования $\sqrt{h} \, d_3 p$ как раз такая какая используется в КТП при интегрировании по "импульсам": $\frac{d_3 p}{\sqrt{m^2 + p^2}}$. Дело в том, что трёхмерная массовая гиперповерхность

$$ p^0 = \sqrt{m^2 + {\bf p}^2} $$

в четырёхмерном псевдоевклидовом пространстве как раз и является тем самым трёхмерным однородным, изотропным пространством постоянной отрицательной кривизны (пространством Лобачевского):

$$ - h_{i j} \, dp^i \, dp^j = (d\sqrt{m^2 + {\bf p}^2})^2 - (d{\bf p})^2 $$

[EvilPhysicist]

SergeyGubanov в сообщении #833769 писал(а):

Посмотрите в учебниках по математике что такое "непрерывная группа"

Непрерывная группа и

SergeyGubanov в сообщении #833462 писал(а):

"групповое" трёхмерное однородное пространство

Очевидно, разные простарснтва. Будь они одним и тем же, вы мы написали 3-мерная группа Ли, а не то, что написали.

SergeyGubanov в сообщении #833769 писал(а):

Рассматривая эти числа как координаты в групповом пространстве приходим к идее существования оного.

То есть вы хотите сказать, что 3-мерная Лиева группа это трехмерное многообразие? Если да, то это очевидно. И это не снимает вопрос о том, почему вы пишите

SergeyGubanov в сообщении #833462 писал(а):

"групповое" трёхмерное однородное пространство

вместе общепринятых терминов.

SergeyGubanov в сообщении #833769 писал(а):

Однородное пространство обладает такими полями Киллинга, двигаясь вдоль которых из любой точки можно попасть в любую другую точку этого пространства

Не правильно. Пространство никакими полями Киллинга не обдладает. На нем их можно задавать. И уж тогда разумнее дать определние так:
Многообразие однородно если для любых двух точек существет поле Килинга такое, что интегральная кривая этого поля соединяет эти две точки.

SergeyGubanov в сообщении #833769 писал(а):

Изотропное пространство - равноправие всех направлений

И как же вы это сформулируете на языке многообразий и векторных полей? Потому что вот лично мне не понятно, как из вашего опреления получить критерий для проверки многообразий на изотропность.

SergeyGubanov в сообщении #833769 писал(а):

Из изотропности в окрестности любой точки следует однородность.

Собственно пока нету определения изотропности никакие выводы сделать нельзя.

SergeyGubanov в сообщении #833769 писал(а):

Изотропность в окрестности любой точки эквивалентна тому, что тензор Риччи пропорционален метрическому тензору

Чего-то мне не очевидно, что из $R_{\mu\nu}=\alpha h_{\mu\nu}$ следует однородность простарснтва. Какие ваши доказательства?

SergeyGubanov в сообщении #833769 писал(а):

Для примера это не важно. Действуют на что-то. Каким-то образом.

Ну да, и получаем мы тоже что-то потому-то и из-за этого то-то.
Как и на что действуют опреаторы -- важно. Особенно если вы делаете их Фурье преобразование.

SergeyGubanov в сообщении #833769 писал(а):

Интеграл по всему групповому пространству. Оно трёхмерное. В чём вопрос-то?

В том, зачем упоминать

SergeyGubanov в сообщении #833462 писал(а):

наше четырёхмерное пространство событий

если вы по нему не интегрируете?

SergeyGubanov в сообщении #833769 писал(а):

Это уже дело техники. Было бы желание.

И вы, я так понимю, не станете себя утомлять этим, потому как не гоже благородным донам коммутаторы считать.
Пока вы не покажете, что есть нужные коммутационные соотношения поле не квантовое.

EvilPhysicist в сообщении #833548 писал(а):

Где это она определяется? Покажите ка как вы это сделали.

Вопроса вы не поняли, поэтому поясняю. Покажите, что масса построенного вами "поля" связана с кривизной.
То, что вы написали верно, но к массе поля отношения не имеет никакого.

И кстати, тут

SergeyGubanov в сообщении #833462 писал(а):

$$ \varphi (x) = \int \left( f(x, p) a(p) + f^{*}(x, p) a^{\dag}(p) \right) \sqrt{h} \, d_3 p = \int \left( f(x, p) a(p) + f^{*}(x, p) a^{\dag}(p) \right) \frac{m \, p^2 \sin(\theta) \, dp \, d\theta \, d\varphi}{\sqrt{m^2 + p^2}} $$

что значат буквы $x$ и $p$?

[kirillD]

EvilPhysicist в сообщении #833767 писал(а):

Это точно не из учебников.

SergeyGubanov в сообщении #833769 писал(а):

Это народное, фольклор.

Я и надеялся, что это так. Спасибо, очень хорошо.

[Утундрий]

EvilPhysicist в сообщении #833787 писал(а):

что значат буквы $x$ и $p$?

Очевидно, первая - аргумент искомой функции, вторая - "немая переменная". Первый курс, первый семестр