Сходимость рекуррентно заданной последовательности

[wf34]

Требуется доказать сходимость и вычислить предел рекурсивно заданной последовательности:
$x_0=0$
$x_1=1$
$x_{n+1}=\frac {x_n + n \cdot x_{n-1}} {n+1}$

Очевидно, что последовательность не монотонна, единственный известный мне подход к доказательству эт по Коши.

Полную выкладку по Коши не прилагаю здесь, страницу текста так легко не наберешь на tex...
Тем более, что меня не покидает ощущение, что где в решении я свернул не туда.
Здесь было сделано допущение, что $n = p$, и я пришел к следующему:
$|x_{n+p}-x_{n}| \textless | \frac {n \cdot x_{n-1}} {n + 1} + 2 \cdot \sum_{i=n}^{2n-2} x_i + { \frac {x_{2n-1}} {2n} } | $

[devgen]

Выпишите $x_{n+1}-x_{n}$, а там замените $x_n-x_{n-1}$ и так далее -- что-нибудь получится.

[wf34]

devgen в сообщении #832650 писал(а):

Выпишите $x_{n+1}-x_{n}$, а там замените $x_n-x_{n-1}$ и так далее -- что-нибудь получится.

Вы красавец. вот сейчас уже, похоже на то, что решение куда-то движется.

$x_{n+1} - x_{n} = \frac {x_n + n \cdot x_{n-1}} {n+1} - x_n = $
$= \frac {-n \cdot ( x_n - x_{n-1})} {n+1}$
$x_{n} - x_{n-1} = \frac {(1-n) \cdot (x_{n-1} - x_{n-2})} {n}$

Только пока не пойму, куда.
Считал численно значения функции, чисто для составления картинки в голове.
четные сходятся от 0 к ~0.68 где-то.
нечетные сходятся от 1 тудаже.

[Cash]

Сегодня уже вторая тема, которая совсем недавно обсуждалась
http://dxdy.ru/topic81591.html

[ewert]

wf34 в сообщении #832658 писал(а):

$x_{n} - x_{n-1} = \frac {(1-n) \cdot (x_{n-1} - x_{n-2})} {n}$

Только пока не пойму, куда.

Теперь выпишите явное выражение для второго приращения через первое, затем для третьего, четвёртого и т.д. Там почти всё посокращается, и общее выражение для приращения окажется воистину явным. А тогда общий член самой последовательности будет частичной суммой вполне конкретного ряда (знакочередующегося).

[Ms-dos4]

Можно и не писать все, а заметить, что
$\[{x_{n + 1}} - {x_n} = \frac{{n{x_{n - 1}} - {x_n}n}}{{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}}({x_{n - 1}} - {x_n})\]$
Тогда если обозначить $\[{\Delta _{n + 1}} = {x_{n + 1}} - {x_n}\]$, $\[\frac{{{\Delta _{n + 1}}}}{{{\Delta _n}}} = - \frac{n}{{n + 1}}\]$. Осталось решить данное простенькое уравнение на "дельту" и тогда $\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{\Delta _k}} + {x_0}\]$. Ряд получается довольно известный.