Кратные интегралы. Полярные координаты.

[TamaGOch]

задача вычислить интеграл $\int\int (x^2+y^2)dxdy$ по области $x^4+y^4 \leqslant 1$.
Пользовался такой вот обобщенной полярной заменой $x = r\sqrt{\cos\varphi}; y = r\sqrt{\sin\varphi}$
Якобиан равен $\frac{r}{2\sqrt{\cos\varphi\sin\varphi}}$
подставляя полярную замену в неравенство, задающее область, получаю $r \leqslant 1$
И вот здесь возник вопрос с углом $\varphi$. Я предположил, что он может меняться от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, то есть там, где синус и косинус не отрицательны.
Изобразил полученную область ($r \leqslant 1$) как четверть круга с единичным радиусом, расположенную в первой четверти координатной плоскости.
Вычислив, получил ответ $\frac{\pi}{4\sqrt2}$, что в четыре раза меньше, чем в ответах в задачнике.
Подскажите пожалуйста, какое из приведённых суждений ошибочно.
Думаю, что ошибка где-то здесь. Если нет, пойду искать причины в вычислении.

-- 03.03.2014, 17:00 --

Вот, местами укороченное, вычисление
$\int_{0}^{1}dr\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{r^3(\cos\varphi+\sin\varphi)}{2\sqrt{\cos\varphi\sin\varphi}}d\varphi=\frac12\int_{0}^{1}r^3dr(\int_{0}^{\frac\pi2}\cos^\frac12\varphi\sin^{-\frac12}\varphid\varphi + \int_{0}^{\frac\pi2}\sin^\frac12\varphi\cos^{-\frac12}\varphid\varphi) = \frac12B(\frac14; \frac34)\int_{0}^{1}r^3dr = \frac{\pi}{8\sin{\frac\pi4}} = \frac{\pi}{4\sqrt2}$

[ИСН]

TamaGOch в сообщении #832245 писал(а):

И вот здесь возник вопрос с углом $\varphi$. Я предположил, что он может меняться от $0$ до $\frac{\pi}{2}$

В Вашем первоначальном интеграле (а ведь именно там указаны все пределы) нет никакого угла $\varphi$. Как же понять, какие нужны пределы по $\varphi$? Философский вопрос... Минуточку, а Вы рисовать эту область пробовали же? А первоначальную? Ну? И как? Похожи?

[SpBTimes]

Думаю, лучше ввести стандартную полярную систему. Ваша функция границы вполне прилично перепишется: $r^4 = \frac{1}{\cos^4(\varphi) + \sin^4(\varphi)}$. Вот и посмотрите. А при такой замене пределы вполне очевидны.

[TamaGOch]

ИСН, SpBTimes, благодарю, буду пробовать

[Алексей К.]

TamaGOch в сообщении #832245 писал(а):

Изобразил полученную область... как четверть круга...
Вычислив, получил ответ... в четыре раза меньше, чем в ответах в задачнике.

Ну так авторы задачника или по всему кругу считали, или, если по четверти, не забыли домножить результат на 4.