Использование разных переменных в решении(тригонометрия)

[constant]

$\sin(2x + \pi/6) + \sin3x -2 = 0$

Очевидно, что $x = \pi/6 + \pi*n$ и $x = \pi/6 + (2\pi/3)m$


Помогите, пожалуйста, разобраться, почему нужно использовать 2 переменные - n и m, это правильно, но я не осознаю почему, кроме как "это решение системы", однако это не понимание. Как понять без правил?

[Sonic86]

фигня удалена

[mihailm]

Разные понятно надо использовать, но лучше решать без этих букв вообще, с окружностью

[constant]

mihailm в сообщении #831947 писал(а):

Разные понятно надо использовать, но лучше решать без этих букв вообще, с окружностью

Ага, понятно что там будет треугольник и прямая, а потом одна общая точка, но меня не это интересует, а то почему(!) надо использовать разные переменные, Вы не могли бы, пожалуйста, это разъяснить?

[Sonic86]

фигня удалена

[gris]

constant, Вы же употребили слово система. Так как синус не превосходит единицу, то данное уравнение сводится к системе двух уравнений, которые Вы успешно решили. У нас получились две серии решений для каждого синуса, то есть формально
$\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb Z\\ x=\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3}m, m\in \mathbb Z\end{cases}$

Но это ещё не ответ. У нас не совокупность серий, а система. То есть искомые значения $x$ должны находиться в каждой из серий. Мы можем, используя разные переменные для каждой серии, легко связать их. Вычитая уравнения и деля на пи мы получим
$n=\dfrac23 m=2\cdot \dfrac {m}3=2k$
То есть, исходя из целочисленности $n$ и $m$ мы получаем, что $n$ должно быть чётным числом, или — равносильно — $m$ кратным тройке.

Окончательный ответ к задаче $x=\dfrac{\pi}{6} + 2 \pi n; n \in \mathbb Z$

Разумеется, легче эти рассуждения провести на тригонометрическом круге. Вполне можно обойтись и одной переменной, имея в виду, что она, в общем-то, является счётчиком, определённым для каждой строки, но тогда затруднительно будет чисто формально выделить общие решения. Скорее всего, мы просто потеряем некоторые решения.

Уважаемый Sonic86, мне кажется, имеет в виду ситуацию совокупности серий решений, где действительно принято ставить одну переменную для счётчика всех серий. Например,

$\sin x\cdot\sin\sqrt2 x=0$

Ответ: $x=\pi n; x=\dfrac {\sqrt 2\pi n}{2}; n \in \mathbb Z$

Вот если уравнение будет таким:

$\sin x\cdot\sin y=0$

То в ответе обязательно использовать различные переменные, чтобы не потерять решения: $x=\pi n; y=\pi m; n,m \in \mathbb Z$

А бывают уравнения, для которых в ответе обязательно используется одна переменная. Ну, например, если последнее уравнение дополнить, как систему, таким: $x-y=5\pi$

[Sonic86]

(Оффтоп)

gris в сообщении #832000 писал(а):

Уважаемый Sonic86, мне кажется, имеет в виду ситуацию совокупности серий решений, где действительно принято ставить одну переменную для счётчика всех серий.

Да, действительно. Прошу простить, написал фигню

[constant]

gris в сообщении #832000 писал(а):

constant, Вы же употребили слово система. Так как синус не превосходит единицу, то данное уравнение сводится к системе двух уравнений, которые Вы успешно решили. У нас получились две серии решений для каждого синуса, то есть формально
$\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb Z\\ x=\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3}m, m\in \mathbb Z\end{cases}$

Но это ещё не ответ. У нас не совокупность серий, а система. То есть искомые значения $x$ должны находиться в каждой из серий. Мы можем, используя разные переменные для каждой серии, легко связать их. Вычитая уравнения и деля на пи мы получим
$n=\dfrac23 m=2\cdot \dfrac {m}3=2k$
То есть, исходя из целочисленности $n$ и $m$ мы получаем, что $n$ должно быть чётным числом, или — равносильно — $m$ кратным тройке.


Окончательный ответ к задаче $x=\dfrac{\pi}{6} + 2 \pi n; n \in \mathbb Z$

Разумеется, легче эти рассуждения провести на тригонометрическом круге. Вполне можно обойтись и одной переменной, имея в виду, что она, в общем-то, является счётчиком, определённым для каждой строки, но тогда затруднительно будет чисто формально выделить общие решения. Скорее всего, мы просто потеряем некоторые решения.

Уважаемый Sonic86, мне кажется, имеет в виду ситуацию совокупности серий решений, где действительно принято ставить одну переменную для счётчика всех серий. Например,

$\sin x\cdot\sin\sqrt2 x=0$

Ответ: $x=\pi n; x=\dfrac {\sqrt 2\pi n}{2}; n \in \mathbb Z$

Вот если уравнение будет таким:

$\sin x\cdot\sin y=0$

То в ответе обязательно использовать различные переменные, чтобы не потерять решения: $x=\pi n; y=\pi m; n,m \in \mathbb Z$

А бывают уравнения, для которых в ответе обязательно используется одна переменная. Ну, например, если последнее уравнение дополнить, как систему, таким: $x-y=5\pi$

Я знаю как решать, но не понимаю почему мы потеряем решения если $n=m$, для меня это просто "правило", а потому хочу разобраться как это работает.

[gris]

Ну пусть мы считаем, что у нас система с одной переменной-счётчиком
$\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{6} + \pi n, \\ x=\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3}n, n\in \mathbb Z\end{cases}$
При каком значении $n$ мы одновременно в двух сериях получим решение $x=\dfrac{\pi}{6} + 2\pi $?
То есть придётся долго рассуждать, что при $n=2$ оно появится в первой серии, при $n=3$ во второй, но это уже не система, а непонятно что. А с двумя переменными совершенно чёткие формальные рассуждения.

Кстати, не надо цитировать всё сообщение.

[Toucan]

constant, замечание за избыточное цитирование.

[gris]

Если уж совсем строго, то можно сказать, что решения уравнения получаются из бесконечной совокупности систем из двух уравнений, вида

$\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{6} + \pi n;\\ x=\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3}m\end{cases}$

$n,m\in \mathbb Z.$

то есть мы сравниваем каждый элемент первой серии с каждым элементом второй и определяем, при каких значениях счётчиков это выполняется.

[iifat]

В принципе, если понимать, что делаешь, можно по-всякому. Например, записать в таком виде: $x\in\left\{\frac\pi 6 + \pi n\mid n\in\mathbb N\right\}\cap\left\{\frac\pi 6 + \frac{2\pi}3n\mid n\in\mathbb N\right\}$ — $n$ при этом связанная, так что такая запись, в принципе, правильная, хотя и является незаконченным решением. Может, стоит попробовать закончить с этого места?