Тензорное произведение колец вычетов

[OlgaD]

Встретилась задачка "вычислить тензорное произведение конечных циклических групп $\mathbb{Z}_m\otimes\mathbb{Z}_n.$" Вычислять тензорные произведения я еще не научилась, поэтому не судите строго.

Вот некоторые мои рассуждения. Сначала можно рассмотреть случай, когда числа $m$ и $n$ взаимно просты, т.е. $(m,n)=1.$ В этом случае существуют такие целые числа $u$ и $v,$ что $mu+nv=1.$ Значит, тензорное произведение $x\otimes y=(1\cdot x)\otimes y=(mux+nvx)\otimes y=n\cdot(vx)\otimes y=(vx)\otimes(ny)=0.$ Так как тензорное произведение $\mathbb{Z}_m\otimes\mathbb{Z}_n$ состоит из конечных сумм вида $\sum x_i\otimes y_i,$ то по-видимому оно будет равно нулю.

А вот со вторым случаем у меня не получается. Предположим, что числа $m$ и $n$ не взаимно просты, т.е. $(m,n)=t>1.$ Тогда снова существуют такие целые числа $u$ и $v,$ что $t=mu+nv.$ Тогда, аналогично вычислениям выше, получаем, что $t\cdot(x\otimes y)=0.$ Но вроде бы в этом случае не все произведения $x\otimes y$ равны нулю. Есть очень большой соблазн написать, что $\mathbb{Z}_m\otimes\mathbb{Z}_n\cong\mathbb{Z}_t.$ Однако это только предположение.

Подскажите, пожалуйста, имеет ли смысл во втором случае применять тот же подход, что и в первом случае и верно ли мое предположение?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
OlgaD, создавайте свои темы в разделе "Помогите решить". Если Вы не нашли там кнопку создания темы - поищите - она там есть.

[olenellus]

Как я понимаю, $\mathbb{Z}_k$ рассматриваются как $\mathbb{Z}$-модули, а под $\mathbb{Z}_m\otimes\mathbb{Z}_n$ подразумевается $\mathbb{Z}_m\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}_n$.

Ваше предположение верно. И да, имеет смысл во втором случае применять тот же подход. Но, используя этот подход и смекалку, надо построить явный изоморфизм в $\mathbb{Z}_{(m,n)}$.

Можно это утверждение доказать и как следствие более общего утверждения $(K/I_1)\otimes_K(K/I_2)\cong K/(I_1+I_2)$, где $K$ — кольцо, а $I_1$ и $I_2$ — его идеалы. Само это утверждение можно доказать, используя ещё более общее утверждение для $K$-модуля $M$ $M\otimes_K(K/I)\cong M/IM$, но здесь получается пушкой по воробьям.

[apriv]

OlgaD в сообщении #831105 писал(а):

Встретилась задачка "вычислить тензорное произведение конечных циклических групп $\mathbb{Z}_m\otimes\mathbb{Z}_n.$"

Полезно иметь в виду геометрический смысл этого тензорного произведения: $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}_m)$ и $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}_n)$ — наборы точек, висящие над прямой $\mathrm{Spec}(\mathbb Z)$; для взаимно простых $m$ и $n$ эти наборы висят над различными простыми идеалами $\mathbb Z$, поэтому их пересечение (=расслоенное произведение) пусто.

[OlgaD]

Спасибо за уточнение...Однако я пока не очень хорошо освоилась с тензорными вычислениями.