Определитель матрицы

[sla-von]

Задача.
Дана матрица $M$ размерности $n \times n$, где $m_{ij}=a_ia_j$ при $i \ne j$ и $m_{ii}=a_i +k$. Найти определитель матрицы $M$.

Решение.
Возьмём матрицу $B=\{b_{ij}\}_{i,j=1}^n$, у которой $b_{ij}=a_j$. Можно записать $|M-kE|=\Pi_{i=1}^{n}a_{i}|B|$, где $E$ - единичная матрица. Отсюда $|M-kE|=0$, т.е $k$ - собственное значение матрицы $M$. Пусть все $a_i$ вещественны и $k$ фиксировано. Тогда в силу симметричности $M$ получим $M=kE$ и $|M|=k^n$.

В условии ничего не сказано про $a_i$ и $k$. Насколько законны сделанные предположения? И что делать, если незаконны? Пожалуйста, подскажите.

[gris]

Возьмите самый простой случай. $n=1;a=\{1\},k=0$. Определитель равен $1$.
Пусть $n=2;a=\{1,2\},k=0$. Определитель равен $-2$.

[sla-von]

При $n=2$ у меня получился определитель $(a_1^2+a_2^2+k)k$. Вычислил в лоб для нескольких $n$. Получается $|M|=\left( k + \Sigma_{i=1}^n a_i^2 \right) k$. Приведенное решение неправильно. Буду дальше копать.

[gris]

$n=2; a=\{a_1,a_2\}; k$

$\begin{vmatrix} a_1+k & a_1\cdot a_2 \\ a_1\cdot a_2 & a_2+k \end{vmatrix}=(a_1+k)(a_2+k)-a_1^2\cdot a_2^2$

Или я неправильно трактую условие?

[sla-von]

Правильно. По крайней мере, я так же понимаю.

-- 26.02.2014, 15:56 --

Пардон, опечатался. Исправляюсь: $|M|=\left(k+\Sigma_{i=1}^n a_i^2 \right)k^{n-1}$

[gris]

А почему у Вас, как будто $m_{ii}=a_i^2+k$?

[svv]

А наверняка в условии так $m_{ii}=a_i^2+k$, а не так $m_{ii}=a_i+k$.

[sla-von]

svv в сообщении #830798 писал(а):

А наверняка в условии так $m_{ii}=a_i^2+k$, а не так $m_{ii}=a_i+k$.

Да, именно так. Каюсь за временное косоглазие.

[Rock`n`Rolla]

http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_determinant_lemma

[sla-von]

В выражении $|A+uv^T|$ матрица $A$ обратима, а $u$ и $v$ - либо векторы, либо матрицы той же размерности, что и $A$. Так что применить эту лемму к $|M-kE|$ не представляется возможным. Или Вы что-то другое имели в виду?

[Rock`n`Rolla]

Если исходить из исправления условия, что $m_{ii} = a_i^2 + k$, то матрица $M$ как раз имеет вид, соответствующий лемме: $M = kE + aa^T$. При $k \ne 0$ она сразу дает результат для определителя.

[sla-von]

Да, всё получилось. Я зациклился на первом "решении", где через $kE$ выражалась не матрица $M$, а её определитель. Спасибо.