Предел рекуррентной последовательности

[sla-von]

Найти предел рекуррентной последовательности

$$x_0=0, x_1=1, x_{n+1}=\frac{x_n+n x_{n-1}}{n+1}$$

Смотрел "Возвратные последовательности" Маркушевича и пытался выразить общий член. Вначале сдвинем индекс на единицу, чтобы попользоваться формулами из этой книги. Получилось: $x_1=0, x_2=1, x_{n+2}=\frac{x_{n+1}+n x_{n}}{n+1}$. Корни характеристического уравнения $(n+1)q^2-q-n=0$ равны $q_1=1,q_2=-\frac{n}{n+1}$, откуда получаем общее выражение

$$x_n=C_1-(-1)^n\left( \frac{n}{n+1} \right)^{n-1}C_2.$$

Для определения $C_1$ и $C_2$ составим систему $x_1=C_1+C_2=0, x_2=C_1-\frac{2}{3}C_2=1$, из которой $C_1=\frac{3}{5}, C_2=-\frac{3}{5}$. В итоге общий член последовательности принимает вид

$$x_n=\frac{3}{5} \left( 1+(-1)^n \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n-1} \right). $$

Но это другая последовательность! Подскажите, пожалуйста, в чем ошибка. Есть ли другие способы найти предел рекуррентной последовательности? И что можно почитать в этой области? Заранее благодарю за помощь.

[SpBTimes]

Погодите, так можно только если у вас последовательность с "постоянными" коэффициентами. Иначе ваш подход неверен.

[sla-von]

SpBTimes в сообщении #830403 писал(а):

Погодите, так можно только если у вас последовательность с "постоянными" коэффициентами. Иначе ваш подход неверен.

Другими словами коэффициенты $C_1$ и $C_2$ должны зависеть от $n$?

[SpBTimes]

Ну, можно и так сказать, конечно. Просто общее решение в таком виде не записать.

-- Вт фев 25, 2014 11:32:56 --

Например, заметьте, что $x_{n + 1} - x_n = \frac{n}{n+1}(x_{n-1} - x_n)$

[provincialka]

SpBTimes в сообщении #830409 писал(а):

заметьте, что $x_{n + 1} - x_n = n(x_{n-1} - x_n)$

Немного не так, там коэффициент дробный.

[SpBTimes]

Ой, да, на $n+1$ еще надо поделить. Исправил.

[provincialka]

Значит, тут получается знакопеременный гармонический ряд. Знает ли его ТС?

[sla-von]

SpBTimes в сообщении #830409 писал(а):

$x_{n + 1} - x_n = \frac{n}{n+1}(x_{n-1} - x_n)$

Заметил, но как это использовать?

provincialka в сообщении #830419 писал(а):

Значит, тут получается знакопеременный гармонический ряд. Знает ли его ТС?

Ряд что-то не вижу

[SpBTimes]

Ну ведь $x_n - x_{n - 1} = \frac{n-1}{n}(x_{n-2} - x_{n-1})$, продолжайте.

[sla-von]

Получилось $x_n-x_{n-1}=\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ - общий член знакопеременного гармонического ряда, о котором говорила provincialka. Если взять модуль и устремить $n$ к бесконечности, докажем сходимость. А если просуммировать обе части по $n$, получим $\Sigma (x_n-x_{n-1}) = \ln 2$. Но $N$-ная частичная сумма ряда $\Sigma (x_n-x_{n-1})$ чудесным образом совпадает с $x_N$, так что предел последовательности $\{x_n\}$ равен сумме этого ряда. Ответ: $\ln 2$. Так?

[iifat]

sla-von в сообщении #830407 писал(а):

SpBTimes в сообщении #830403 писал(а):

Погодите, так можно только если у вас последовательность с "постоянными" коэффициентами. Иначе ваш подход неверен.

Другими словами коэффициенты $C_1$ и $C_2$ должны зависеть от $n$?

При чём тут $C_1$ и $C_2$? Рекуррентная формула вида $x_n=a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+\cdots+a_kx_{n-k}$ с постоянными $a_i$. Ну, можно ещё $+f(n)$ для некоторых функций.

[SpBTimes]

sla-von в сообщении #830434 писал(а):

Если взять модуль и устремить $n$ к бесконечности, докажем сходимость

Сходимость чего?
Нет, теперь получите формулу для общего члена данной последовательности.

[sla-von]

SpBTimes в сообщении #830441 писал(а):

Сходимость чего?

Исходной последовательности. Я свое предыдущее сообщение отредактировал.

[SpBTimes]

sla-von
Способом, который вы написали, сходимость последовательности не доказать. А вот через ряд - это правильно.

[sla-von]

iifat в сообщении #830439 писал(а):

При чём тут $C_1$ и $C_2$?

По аналогии с методом Лагранжа для дифференциальных уравнений. Можно считать, что $C_1$ и $C_2$ - какие-то функции от номера $n$ и постоянных параметров $z_i$, $i=1,2,...,k$. Тогда, вычислив $k$ первых (на самом деле, любых) членов последовательности, получим систему относительно $z_i$. Мне кажется, такой подход имеет право на жизнь, если заранее знать, как устроены функции $C_1$ и $C_2$. Но это уже оффтоп.

-- 25.02.2014, 13:34 --

SpBTimes в сообщении #830446 писал(а):

sla-von
Способом, который вы написали, сходимость последовательности не доказать. А вот через ряд - это правильно.

Большое спасибо за помощь.

Немного поупираюсь насчет сходимости. Выражение $x_n-x_{n-1}=\frac{(-1)^n}{n}$ берем по модулю и устремляем $n$ к бесконечности. Получаем $|x_n-x_{n-1}|\rightarrow 0$, т.е. последовательность фундаментальна в $R$, а её сходимость следует из полноты $R$.