Произведение косинусов

[frankenstein]

Надо вычислить значение этого выражения.
$\prod\limits_{k=1}^{\infty} \cos(x \cdot 2^{-k})$
Все что я смог тут сделать это:
$= \cos(\frac x 2)\cos(\frac x 4)\cos(\frac x 8)...$
Если $x$ некая константа, то последний множитель произведения
стремится к 1.
Дальше затрудняюсь, нет идей.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
frankenstein, создавайте темы в разделе "Помогите решить". Если Вы не нашли кнопку "Создать тему" - поищите - она там есть.

frankenstein в сообщении #826767 писал(а):

Надо вычислить значение этого выражения.
$\Pi ^\infty _{k=1} cos(x2^{-k})$

Вспомните формулу синуса двойного угла.

Произведение пишется так: \prod\limits_{k=a}^{b}f(k), перед косинусами ставьте слэш: \cos, дробь пишется \frac{a}{b}

[Евгений Машеров]

Полезный иногда приём - умножить и поделить на что-то. Выражение не изменится, но один множитель может с чем-то взаимодействовать...
А как именно - тут уже подсказали.

[frankenstein]

Попробую так:
$\prod \approx \prod _{k=1} ^N \cos(x 2^{-k})$

$\prod \cdot \sin(\frac {x} {2^N}) \approx \frac {1} {2^N} \sin(x)$

Для $N=3$ получается:
$\cos(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{4})\cos(\frac{x}{8})\sin(\frac{x}{8}) = $

$= \frac{1}{2}\cos(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{4})\sin(\frac{x}{4}) = $

$= \frac{1}{4}\cos(\frac{x}{2})\sin(\frac{x}{2}) = \frac{1}{8}\sin(x)$
Получается что если умножить последний элемент на $\sin(\frac{x}{2^N})$
эта цепь будет самосокращаться и превратится в

$\prod \approx \frac{\frac{1}{2^N}\sin x}{\sin(x 2^{-N})}$
Получается что
$ \prod _{k=1} ^\infty \cos(x 2^{-k}) = \frac{\sin x}{x}$

[Dan B-Yallay]

frankenstein в сообщении #828833 писал(а):

Получается что если умножить последний элемент на $\sin(\frac{x}{2^N})$
эта цепь будет самосокращаться и превратится в

$\prod \approx \frac{\frac{1}{2^N}\sin x}{\sin(x 2^{-N})}$
Получается что
$ \prod _{k=1} ^\infty \cos(x 2^{-k}) = \frac{\sin x}{x}$

На какой "элемент" вы умножали в бесконечном произведении в последней строке?

[frankenstein]

посмотрите на левую часть второго уравнения

[Dan B-Yallay]

Dan B-Yallay в сообщении #828969 писал(а):

На какой "элемент" вы умножали в бесконечном произведении в последней строке?

frankenstein в сообщении #828980 писал(а):

посмотрите на левую часть второго уравнения

То есть вы умножаете $ \prod _{k=1} ^\infty \cos(x 2^{-k}) $ на $\prod \cdot \sin(\frac {x} {2^N}) $.
Я ваc правильно понял?

[provincialka]

Dan B-Yallay в сообщении #828994 писал(а):

То есть вы умножаете $ \prod _{k=1} ^\infty \cos(x 2^{-k}) $ на $\prod \cdot \sin(\frac {x} {2^N}) $.
Я ваc правильно понял?

По-моему, неправильно поняли. Если эти формулы :

frankenstein в сообщении #828833 писал(а):

Попробую так:
$\prod \approx \prod _{k=1} ^N \cos(x 2^{-k})$

$\prod \cdot \sin(\frac {x} {2^N}) \approx \frac {1} {2^N} \sin(x)$

привести в удобочитаемый вид, то вроде это правильно. frankenstein рассматривает сначала конечное произведение.

[Dan B-Yallay]

provincialka
Он умножает с "хвоста", то есть с половинного аргумента, в то время как ему советовали рассмотреть формулу двойного. То есть с начала.
Кроме того, с хвоста можно умножить только при конечном произведении. Поэтому у меня и возник вопрос.
Который в принципе, конечно, неважен.

[frankenstein]

Dan B-Yallay в сообщении #828994 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #828969 писал(а):

На какой "элемент" вы умножали в бесконечном произведении в последней строке?

frankenstein в сообщении #828980 писал(а):

посмотрите на левую часть второго уравнения

То есть вы умножаете $ \prod _{k=1} ^\infty \cos(x 2^{-k}) $ на $\prod \cdot \sin(\frac {x} {2^N}) $.
Я ваc правильно понял?

$ \prod _{k=1} ^\infty \cos(x 2^{-k}) $ и есть $\prod $, но ограниченное до некого N
Под выражением
$\prod \cdot \sin(\frac {x} {2^N}) $. Имеется ввиду: $ \prod _{k=1} ^N \cos(x 2^{-k}) \cdot \sin(\frac{x}{2^N})$
Я подумал, если для конечного набора элементов, работает это правило, следовательно оно будет работать и для бесконечного набора, поэтому смело заменил N на бесконечность. Здесь возникла какая-та неточность. Думаю это можно легко доказать методом мат. индукции.

[provincialka]

frankenstein в сообщении #829089 писал(а):

$ \prod _{k=1} ^\infty \cos(x 2^{-k}) $ и есть $\prod $, но ограниченное

. Плохая словесная конструкция. Если и есть, то почему же "но". Надо бы выражаться поаккуратнее. Ввести частичное произведение, вычислить его и перейти к пределу. Собственно, в этом и состоит смысл бесконечного произведения.

[frankenstein]

Да, вы правы. Я новичок в этой области, поэтому пока не познал тонкостей этой науки

[B@R5uk]

Dan B-Yallay в сообщении #829013 писал(а):

Кроме того, с хвоста можно умножить только при конечном произведении. Поэтому у меня и возник вопрос.

Вопрос возник не зря. Бесконечное произведение -- это предел конечного произведения (предел функциональной последовательности). Если мы умножаем конечное произведение на некоторое выражение, а потом ищем предел этого нового произведения, то это будет уже совсем другой предел (функциональная последовательность другая). И тут, вообще говоря, надо доказывать, что эти два предела хоть как-то связаны.

[frankenstein]

Давайте взглянуть на проблему с точки зрения педагогики.
Вряд ли на экзамене первого курса в нашем вузе будут давать в задании А
задачу, которую вы получили, раздув эту проблему. Очевидно, что решение
простое, возможно я допустил много ошибок в описании решения, но уверен
что оно не должно быть таким сложным.

[provincialka]

frankenstein, вы все сделали правильно, только не совсем аккуратно объяснили. Конечное произведение умножили и разделили на подходящий синус, после чего оно упростилось. Теперь можно спокойно устремлять $n$ к бесконечности.