tg(35)=0,7

[Побережный Александр]

Если элементарными средствами строить углы можно использовать следующие приближенные равенства:
$\tg(35^0)\simeq 0,7002075\simeq\frac7{10}$
$\tg(31^0)\simeq 0.60086\simeq\frac35$
Если построить прямоугольный треугольник, у которого катеты относятся как 7 к 10, то меньший угол с большой точностью будет соответствовать углу $35^0$.
А используя второе приближенное равенство, можно окружность разделить на равные дуги величиной $1^0$.
Используя первое приближенное равенство, можно окружность разделить на равные дуги величиной $5^0$.

[svv]

Здорово!
Ну, вдруг ночью транспортир сломается, а купить негде.

[Утундрий]

Для тангенса имеется разложение в цепную дробь...

[galenin]

Если транспортира нет, то можно вычислить так:

$\operatorname {\tg}(35^o)=\frac{14\cdot 36}{\pi} \sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(36k-11)(36k-25)} $

Еще проще

$\operatorname {\tg}(31^o)=\frac{62\cdot 180}{\pi} \sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(180k-59)(180k-121)} $

[ИСН]

Комбинация этих двух приближений даёт $\tg4^\circ\approx{10\over142}$.
У истинного значения третья подходящая дробь равна $10\over143$.
Неплохо... но оптимально ли? Надо подумать.

[galenin]

Я формально пишу:

$\operatorname {\tg}(4^o)=\frac{4\cdot 90}{\pi} \sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(90k-43)(90k-47)} $

Уверен, что верно.

[Утундрий]

galenin в сообщении #828909 писал(а):

Уверен, что верно.

Вольфрам тоже не возражает.

[Алексей К.]

Когда я служил маркшейдером, никогда не было таких круглых халявных углов.
Вот, помнится, надо было $26^\circ33'54''$ отмерить. Там все прорабы с ума от ужаса посходили.
А я одел белые штаны, и сказал им: отмерьте 200 м прямо, и 100 м влево по перпендикуляру.

Сколько бабок я тогда отгрёб!!!

[ИСН]

galenin, отложите свои разложения в сторону, это может быть интересно, но тут речь о другом.
Побережный Александр, Ваше приближение для $1^\circ$ - не такое уж хорошее. Для $5^\circ$ - значительно лучше (набирая из таких кусков окружность, накопим ошибку примерно в полградуса).
Но если уж заниматься вычитанием, то я тут поискал и нашёл, что $\arctg{3\over5}-\arctg{4\over9}$ - это знаете какое хорошее приближение для угла в знаете сколько градусов?

[arseniiv]

(\TeX{} и градусы.)

Оба популярных варианта в одной теме!

galenin в сообщении #828894 писал(а):

$\operatorname {\tg}(35^o)\ldots$

Побережный Александр в сообщении #828869 писал(а):

$\tg(35^0)\simeq\ldots$

Вы можете легко ввести очень круглые градусы, заменив 0 или o на \circ. В обычном размере это кружок $\circ$, его любят композиторы функций и операторы алгебраических структур. В верхнем индексе его размер становится таким, что даёт $1^\circ\,28'\,05''$.

Кстати, если вам нужно было не $\simeq$, а обычное $\approx$, его код — \approx.

А ещё не обязательно $35^\circ$ закрывать скобочками перед тангенсом.
$\tg 35^\circ$ — нормальная запись, ведь пишут же $\tg\alpha$. Вот $\tg\theta\beta$ будет воспринято уже с подозрением! Сумму, да, вообще не пропустят без документов скобок.

[Limit79]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #828987 писал(а):

Вот $\tg\theta\beta$ будет воспринято уже с подозрением! Сумму, да, вообще не пропустят без документов скобок.

Вот, кстати, именно поэтому я всегда пишу все аргументы в скобках.

[arseniiv]

(2 Limit79.)

Вообще все? Но одна-единственная константа-переменная никак по-другому не может быть понята.

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники, у меня нет цели блистать умом здесь на форуме. Я хотел, чтобы математика помогала обычным людям. Делить угол пополам достаточно просто и обычно народ усваивает это. А вот разделить угол в $90^0$ на три равных угла уже вызывает у многих недоумение. Задачу построить угол при помощи транспортира легко решить в ученической тетрадке. А как построить угол на большом ватмане, на земле подручными средствами. Математики решают свои вопросы при построении. Но обычному человеку не нужна такая высокая материя. К примеру, я хотел построить пятиугольник. При помощи транспортира получаются настолько большие погрешности, что о правильном пятиугольнике речи не идет. В инете есть способы построения, но их еще найти надо. А вот умея построить угол $72^0$, задача легко решается с точки зрения обычного человека. Зная, что $\tg(72^0)\simeq3.08$, построил прямоугольный треугольник с катетами 3 и 1. Получил угол $72^0$ приемлемой точности.

[nikvic]

Побережный Александр в сообщении #829135 писал(а):

К примеру, я хотел построить пятиугольник. При помощи транспортира получаются настолько большие погрешности, что о правильном пятиугольнике речи не идет. В инете есть способы построения, но их еще найти надо. А вот умея построить угол $72^0$, задача легко решается с точки зрения обычного человека.

В 9-м классе меня вызвали разметить пятиугольную клумбу "под звезду".
Сначала я стал строить "по классике" с помощью верёвочки и колышков, потом плюнул и разметил методом последовательных приближений, сокращая невязку.
Впрочем, эти умные слова я узнал гораздо позже

[galenin]

Мы тут математики, у всех есть калькулятор. Нужно всего лишь построить прямоугольник с соотношением сторон $\sqrt{5+2\sqrt{5}} \, : \, 1$ и тогда будем иметь абсолютно точный угол $72^o$