Объяснение парадокса Клейна

[Lvov]

В данном сообщении делается попытка объяснения парадокса Клейна, т.е.странного поведения волновой функции (ВФ) релятивистской частицы, описываемой волновым уравнением Клейна-Гордона (УКГ) и уравнением Дирака, при больших значениях заграждающего электрического потенциала.

Цитата:

Википедия:
"Парадокс Клейна возникает при рассмотрении задачи о туннелировании релятивистской частицы через высокий потенциальный барьер. При решении уравнения Дирака вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер, высота которого больше, чем удвоенная энергия покоя частицы, стремится к единице, независимо от высоты барьера.
Общепринятое объяснение парадокса лежит в плоскости квантовой теории поля. Так, уравнение Дирака описывает не движение отдельной частицы, а эволюцию во времени квантового поля, в котором будут присутствовать и античастицы. Поэтому при наличии сильных полей будет происходить рождение пар и вновь родившиеся частицы могут возникать и за барьером".

Пример проявления парадокса Клейна приводится в англоязычной Википедии (статья "Klein paradox"), где показывается, что дираковский электрон с умеренной кинетической энергией с вероятностью 1 может проходить через очень высокий заграждающий барьер.

Проявление парадокса Клейна уже отмечалось в темах автора "Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика" и "Квантовые осцилляторы Клейна-Гордона и Дирака". В первой теме в сообщении post741877.html#p741877приводился пример решения УКГ с полноым прохождением электронной волны через высокий потенциальный барьер $U\approx 2m+ p^2/(2m).$ Во второй теме показывалось, что в линейном квантовом осцилляторе с увеличением координаты и вместе с ней и запирающего потенциала, после значительного экспоненциального спада волновой функции наблюдается ее колебательный участок с нарастающей пространственной частотой. Отмечалось, что такой характер изменения ВФ характерен как для решения УКГ, так и для решения уравнения Дирака (см. авторскую статью http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog ... 13022.html, рис. 2).

Для понимания сущности явления вспомним выражения для вектора плотности тока-заряда и истоков тензора энергии-импульса частицы, ВФ которой отвечает УКГ:

$$J^i= \frac {ie}{2m}(\frac {\partial \psi^*}{\partial x^i} \psi - \psi^* \frac {\partial \psi} {\partial x^i}+2ieA^i \psi^*\psi), \,\,\,(1)$$

$$\frac {\partial T^{ik}}{\partial x^k} = F^{ik} J^k.\,\,\,(2)$$

Из выражения (2) следует формула для изменения вектора плотности импульса частицы в одномерном случае (пространственная координата $x$)

$$\frac {\partial T^{i0}}{\partial x^0} = \frac {dp^x}{dt} = E^x \rho=E^x J^0.$$

Получаем на первый взгляд известную формулу. Однако следует учесть, что в нашем случае плотность тока зависит как от плотности вероятности частицы, так и от электрического потенциала $A^0$, т.е. от ее потенциальной энергии. В случае стационарного поля формула (1) имеет вид

$$J^0= -\frac em(\varepsilon - eA^0) \psi^*\psi, \,\,\,(1a)$$

т.е. плотность заряда пропорциональна разности полной энергии и потенциальной энергии частицы. С ростом заграждающего потенциала плотность заряда частицы уменьшается и при $\varepsilon < eA^0$ изменяет знак на противоположный. Т.е. электронное поле в области высокого отрицательного потенциала обладает положительным зарядом, и ускоряется с ростом заграждающего потенциала, что проявляется в квантовом осцилляторе в форме появления пульсации ВФ с возрастающей пространственной частотой.

В случае уравнения Дирака известна формула для плотности заряда c постоянным его знаком $J^0= ie \bar{\psi}\gamma^0\psi$, и казалось бы вышеприведенное объяснение парадокса Клейна здесь не применимо. Однако вспомним, что в случае дираковского электрона плотность заряда-тока представляет сумму двух составляющих - переноса зарядов и спиновую, связанную с пространственной неоднородностью модуля ВФ. Соответствующая формула, уже приводимая автором в другой теме (сообщение post820405.html#p820405), имеет вид

$$J^i=ie\bar{\psi}\gamma^i \psi= \frac {ie}{2m}(\frac {\partial \bar{\psi}}{\partial x_i} \psi - \bar{\psi} \frac {\partial \psi} {\partial x_i}+2ieA^i \bar{\psi}\psi)+\frac {e} {2m} \frac {\partial (\bar{\psi} \sigma^{ki} \psi)} {\partial x^k} = J^i_{\text{зар}} +J^i_{\text{спин}}.\,\,\, (3)$$

В том же сообщении приводилась формула для истоков тензора энергии-импульса, отвечающая уточненному автором лагранжиану уравнения Дирака

$$\frac {\partial T^{ik}}{\partial x^k} = F^{ik} J^k_\text{зар} + \frac 1 2 \frac {\partial F^{kl}} {\partial x^i} \mu^{kl},\,\,\,(4)$$

где $\mu^{il} = -\frac {e} {2m} \bar{\psi} \sigma^{il}\psi$ - тензор спинового магнитоэлектрического момента электрона.
Отмечалось, что первый член в последнем выражении характеризует изменение энергии-импульса электрона при взаимодействии его заряда с электромагнитным полем, а второй член описывает взаимодействие спинового момента электрона с неоднородным магнитным полем, наблюдаемое в опыте Штерна-Герлаха.
При отсутствии магнитного поля основной вклад в движение электрона вносит первый член в выражении (4), вид которого соответствует виду вектора истоков энергии-импульса (2) для УКГ. Этот член также включает две составляющих плотности заряда, отвечающих энергии-импульсу электрона и его потенциальной энергии, как это имело место в выражении (1) для случая УКГ. При этом последняя составляющая основной части вектора заряда при запирающем электрическом потенциале также ослабляет и может изменять знак плотности заряда электронного поля. Ввиду вышеуказанного значительное возрастание запирающего потенциала дираковского электрона, как и в случае частицы, описываемой УКГ, приводит к обратному знаку изменения импульса электрона при постоянном знаке напряженности электрического поля.

Считается, что парадокс Клейна связан с рождением позитронов, компенсирующих электронную составляющую ВФ. Автор же, предполагая, что ВФ электрона отражает реальное вакуумное поле, считает такое положение малоубедительным. Видимо электронная волновая функция при распространении в область высокого заграждающего потенциала приобретает свойство носителя положительного заряда, определяющего аномальное взаимодействие электронного поля с электрическим. Нормированная ВФ стационарного электрона представляет единую частицу с отрицательным зарядом, и позитрон не может быть обнаружен в области положительных значений плотности заряда, поскольку это нарушало бы закон сохранения заряда.

С уважением О.Львов

[Helium]

Перед прохождением барьера возникает высокий пик потенциальной энергии электрона (и кинетической энергии тоже)



Но опять же нужно сначала привести в порядок уравнение Клейна-Гордона. Только после этого посмотреть каким станет проявление парадокса Клейна.

[Lvov]

Воспользовавшись необходимостью отреагировать на реплики оппонента, сделаю дополнительное замечание касательно отсутствия поля позитронной составляющей в рассмотренной волновой функции в области высокого запирающего потенциала. Дело в том, что в стационарном состоянии позитронная волновая функция имеет другой знак частоты осцилляции, чем рассмотренная электронная волновая функция.

Helium в сообщении #828109 писал(а):

Перед прохождением барьера возникает высокий пик потенциальной энергии электрона (и кинетической энергии тоже)

Насколько я понимаю потенциальная энергия электрона увеличивается в зоне заграждающего барьера, но не перед ним.

Helium в сообщении #828109 писал(а):

Но опять же нужно сначала привести в порядок уравнение Клейна-Гордона. Только после этого посмотреть каким станет проявление парадокса Клейна.

Вы видимо считаете, что вместо общеизвестного релятивистского уравнения Клейна-Гордона следует изучать ваше нерелятивистское уравнение сомнительной ценности?

[Helium]

Lvov в сообщении #828503 писал(а):

Насколько я понимаю потенциальная энергия электрона увеличивается в зоне заграждающего барьера, но не перед ним.

График в увеличенном виде выглядит так:



Т.е увеличивается перед барьером и спадает после. Но это еще до прохождения высота стенок $1.9m{c}^{2}$

Lvov в сообщении #828503 писал(а):

Вы видимо считаете, что вместо общеизвестного релятивистского уравнения Клейна-Гордона следует изучать ваше нерелятивистское уравнение сомнительной ценности?

Нет но и в таком виде уравнение Клейна-Гордона не подходит тоже это уже доказано.

[Lvov]

Helium в сообщении #828531 писал(а):

в таком виде уравнение Клейна-Гордона не подходит тоже это уже доказано.

Вы хотите сказать, что уравнение Клейна-Гордона частицы, взаимодействующей с электрическим полем, надо получать, используя новую формулу удлинения производной, наподобие приводимой ниже

$$ \frac \partial {\partial x^0} \,\rightarrow \,\frac \partial {\partial x^0} - \frac {ie}{2m}\left(\frac {\partial \psi^*}{\partial x^0} \psi - \psi^* \frac {\partial \psi} {\partial x^0}+2ieA_0 \psi^*\psi \right) A_0, $$

получая нелинейное уравнение?

[Lvov]

Helium в сообщении #828531 писал(а):

(Потенциальная энергия электрона. (замеч. Lv)) увеличивается перед барьером и спадает после. Но это еще до прохождения высота стенок $1.9m{c}^{2}$
...в таком виде уравнение Клейна-Гордона не подходит тоже это уже доказано.

Каким же образом вы рассчитываете энергию, г. Helium? Какое уравнение вы используете?

[Helium]

Lvov в сообщении #828927 писал(а):

Каким же образом вы рассчитываете энергию, г. Helium? Какое уравнение вы используете?

Я использую уравнение Клейна-Гордона но поскольку это уравнение дает ошибочные результаты для водородоподобного ряда, то и нет уверенности что для потенциальной ямы результат будет верным. Особенно при энергиях порядка $2m{c}^{2}$

[Lvov]

Helium в сообщении #828961 писал(а):

Я использую уравнение Клейна-Гордона

Г.Helium, я наконец понял смысл Ваших графиков. Вы даете потенциальную энергию частицы, умноженную на вероятность ее обнаружения в соответствующем месте.
Что бы ваши расчеты и графики были ближе к теме, предлагаю сделать расчет для уровня энергетического барьера $U=2m+ p^2/(2m),$ где $p=0,01m.$ Ожидаемый коэффициент прохождения мнимо-экспоненциальной волновой функции за барьер здесь должен быть близок к 1, а модуль амплитуды волновой функции за барьером должен оставаться постоянным.

[Helium]

Lvov в сообщении #829246 писал(а):

Г.Helium, я наконец понял смысл Ваших графиков. Вы даете потенциальную энергию частицы, умноженную на вероятность ее обнаружения в соответствующем месте.
Что бы ваши расчеты и графики были ближе к теме, предлагаю сделать расчет для уровня энергетического барьера $U=2m+ p^2/(2m),$ где $p=0,01m.$ Ожидаемый коэффициент прохождения мнимо-экспоненциальной волновой функции за барьер здесь должен быть близок к 1, а модуль амплитуды волновой функции за барьером должен оставаться постоянным.

Но решение уже я привел в сообщении

Helium в сообщении #759527 писал(а):

Я понял какой эффект Вы хотели наблюдать. Поскольку волновая функция немного просачивается через барьер практически любой высоты то хотите посмотреть что будет в случае высоты стенок ямы выше $E=2m{c}^{2}$.
Я сузил радиус ямы до 1 а.е. и при увеличении высоты ямы до значения $E=1.9m{c}^{2}$ ничего не происходит. Это видно на первом графике. А при увеличении высоты до $E=2m{c}^{2}$ происходит то что приведено на втором графике.

Коэффициент прохождения равняется 1 в момент достижения энергии $E=2m{c}^{2}$ так что далее поднимать энергию какой смысл?

-- 21.02.2014, 18:57 --

Lvov в сообщении #829246 писал(а):

Вы даете потенциальную энергию частицы, умноженную на вероятность ее обнаружения в соответствующем месте.

Да это среднее значение потенциальной энергии (в смысле без интегрирования). Если нужны промежуточные решения тоже могу привести. Чем ближе к энергии $E=2m{c}^{2}$ тем сильнее просачивается волновая функция. Как бы частица делает безуспешные попытки.

[Lvov]

Helium в сообщении #829253 писал(а):

Чем ближе к энергии $E=2m{c}^{2}$ тем сильнее просачивается волновая функция. Как бы частица делает безуспешные попытки.

Я лишь утверждаю, что при указанной мною высоте энергетического барьера $U=2m+ p^2/(2m),$ коэффициент прохождения волновой функции через барьер близок к 1. Однако при $U=2m$ он будет меньше 1, и волновая функция за барьером будет спадать. У меня принято $c=1.$

[Helium]

Lvov в сообщении #829263 писал(а):

Я лишь утверждаю, что при указанной мною высоте энергетического барьера $U=2m+ p^2/(2m),$ коэффициент прохождения волновой функции через барьер близок к 1.

Вы имеете ввиду $U=2m{c}^{2}+ p^2/(2m),$ ? То есть больше чем $2m{c}^{2}$ ? А что изменит такая небольшая добавка? Фактически это не барьер постоянной высоты?

-- 21.02.2014, 20:25 --

Helium в сообщении #829275 писал(а):

Я лишь утверждаю, что при указанной мною высоте энергетического барьера $U=2m+ p^2/(2m),$ коэффициент прохождения волновой функции через барьер близок к 1. Однако при $U=2m$ он будет меньше 1, и волновая функция за барьером будет спадать. У меня принято $c=1.$

При высоте барьера $1.9999m{c}^{2}$ еще полностью не проходит.



Однако при высоте $2m{c}^{2}$ (даже чуть меньше этого значения а не больше) уже проходит полностью.

[Lvov]

Helium в сообщении #829275 писал(а):

Однако при высоте $2m{c}^{2}$ (даже чуть меньше этого значения а не больше) уже проходит полностью.

Интересно, какой по вашим расчетам коэффициент прохождения волны в область барьера при $U=2m$.

[Helium]

Lvov в сообщении #829372 писал(а):

Интересно, какой по вашим расчетам коэффициент прохождения волны в область барьера при $U=2m$.

Как рассчитывать коэффициент? Сравнивать амплитуды не имеет смысла. Как видно волновая функция содержит всего один полупериод. Можно сравнивать интегралы от квадрата модуля до барьера и после. Так подходит?

[Lvov]

Helium в сообщении #829385 писал(а):

Lvov в сообщении #829372 писал(а):

Интересно, какой по вашим расчетам коэффициент прохождения волны в область барьера при $U=2m$.

Как рассчитывать коэффициент? Сравнивать амплитуды не имеет смысла. Как видно волновая функция содержит всего один полупериод. Можно сравнивать интегралы от квадрата модуля до барьера и после. Так подходит?

Постановка задачи такова: электронная волна УКГ с умеренным импульсом распространяется сева направо. В начале координат протяженный потенциальный барьер высотой $U=2m$. Часть волны проникает за барьер, часть отражается. Каковы амплитудные коэффициенты прохождения и отражения?

[Helium]

Lvov в сообщении #829495 писал(а):

Постановка задачи такова: электронная волна УКГ с умеренным импульсом распространяется сева направо. В начале координат протяженный потенциальный барьер высотой $U=2m$. Часть волны проникает за барьер, часть отражается. Каковы амплитудные коэффициенты прохождения и отражения?

Не могу сказать насколько этот пример подходит но потом можно переделать.

Сферический потенциальный барьер внутренний радиус 10 а.е. внешний радиус 12 а.е. высота $2m{c}^{2}+0.01m{c}^{2}$ Электрон находится внутри в возбужденном состоянии $n=20$.





При высоте $2m{c}^{2}$ волновая функция не проходит через барьер.



При высокой толщине барьера волновая функция заходит внутрь на определенную глубину и дальше останавливается.